Peanovy axiomy

Giuseppe Peano (1858–1932) byl italský matematik, filosof a logik (portrét asi z roku 1920).

V matematice jsou Peanovy axiomy axiomy v predikátové logice druhého řádu, které vystihují vlastnosti přirozených čísel. Až na izomorfismus existuje jediný model v němž platí Peanovy axiomy, a to množina přirozených čísel s nulou ${\mathbb{N}}_0$. Peanovy axiomy lze zapsat i v logice prvního řádu - teorie určená těmito axiomy se nazývá Peanova aritmetika. Systém axiomů Peanovy aritmetiky je však podstatně slabší než systém Peanových axiomů, neboť například připouští existenci modelů neizomorfních s ${\mathbb{N}}_0$. Autorem Peanových axiomů je Giuseppe Peano.

Znění axiomů

Formální zápis

V logice druhého řádu lze axiomy formulovat takto (první a třetí axiom slovního zápisu je zde sloučen do jediného (prvního) formálního axiomu, který vyjadřuje jednak existenci nuly a jednak to, že není následníkem žádného čísla):

• $(\mathrm{\exists }x)(\mathrm{\forall }y)(y^{\prime }\ne x)$
• $(\mathrm{\forall }x)(\mathrm{\exists }y)(x^{\prime }=y)$
• $(\mathrm{\forall }x)(\mathrm{\forall }y)(x^{\prime }=y^{\prime }\to x=y)$
• $(\mathrm{\forall }\phi )(\phi (0)\wedge (\mathrm{\forall }x)(\phi (x)\to \phi (x^{\prime }))\to (\mathrm{\forall }x)\phi (x))$

Slovní zápis

Informativně vyjadřují Peanovy axiomy následující vlastnosti přirozených čísel:

• Existuje číslo (zpravidla označované 0), které není následníkem žádného čísla.
• Ke každému přirozenému číslu n existuje přirozené číslo n', které je jeho následovníkem.
• Různá přirozená čísla mají různé následovníky.
• Pokud pro nějakou vlastnost přirozených čísel platí, že ji má 0 a z toho, že ji má přirozené číslo n plyne, že ji má i jeho následovník n', pak tuto vlastnost již mají všechna přirozená čísla.

Axiom indukce

Poslední z Peanových axiomů, nazývaný axiom nebo metaaxiom indukce, umožňuje na množinách izomorfních s přirozenými čísly používat matematickou indukci pro libovolnou vlastnost $\phi$. Tento axiom lze zapsat následovně: Pokud $p$ je výrok závisející na $n$, tak:

$\mathrm{\exists }{n}^{\prime }\in \mathbb{N}(p(n^{\prime })\wedge (\mathrm{\forall }n\in ⟨n^{\prime },+\mathrm{\infty })\cap \mathbb{N}(p(n)⟹p(n+1)))⟹\mathrm{\forall }m\in ⟨n^{\prime },+\mathrm{\infty })\cap \mathbb{N}p(m)$.

Pokud je možné najít $n^{\prime }$ pro které platí výrok $p$ a pokud pro výrok $p$ platí pro $n$ větší $n^{\prime }$, tak platí pro $n+1$, potom výrok $p$ platí pro každé $m$ větší $n^{\prime }$.

Definice operací a uspořádání na přirozených číslech

Na množině splňující Peanovy axiomy lze definovat operace sčítání a násobení a relaci uspořádání takto:

• Součet $a+b$ definujeme indukcí podle druhého sčítance: $a+0=a,a+b^{\prime }=(a+b{)}^{\prime }$.
• Součin $a\cdot b$ definujeme indukcí podle druhého činitele: $a\cdot 0=0,a\cdot b^{\prime }=a\cdot b+a$.
• Relaci $a\le b$ definujeme formulí $a\le b\leftrightarrow (\mathrm{\exists }c)(a+c=b)$.

Přirozená čísla bez nuly

Takto zapsanými axiomy je sestrojena množina přirozených čísel začínající nulou. Pokud tato množina nulu obsahovat nemá, lze v těchto axiomech nahradit symbol 0 symbolem 1, pro množinu samotnou se tím nic nezmění.

Související články

• Peanova aritmetika
• Robinsonova aritmetika
• Presburgerova aritmetika
• Gödelovy věty o neúplnosti