Kardinální aritmetika

Kardinální aritmetika je součást teorie množin, která definuje operace kardinálního součtu, kardinálního součinu a kardinální mocniny jako rozšíření běžných aritmetických operací s přirozenými čísly na všechna kardinální čísla a zabývá se jejich vlastnostmi především na nekonečných množinách.

Definice kardinálního součtu a součinu

Jsou-li $\lambda ,\mu$ dvě kardinální čísla, pak definujeme jejich kardinální součet a kardinální součin vztahy:

• $\lambda +\mu =|(\{0\}\times \lambda )\cup (\{1\}\times \mu )|$
• $\lambda .\mu =|\mu \times \lambda |$

Lidsky řečeno:
Kardinálním součtem dvou kardinálů je mohutnost jejich sjednocení, ve kterém si pomocí operace kartézského součinu s jednoprvkovou množinou zajistím jejich disjunktnost. Kardinálním součinem dvou kardinálů je mohutnost jejich kartézského součinu.

Vlastnosti kardinálního součtu a součinu

Vztah kardinálních a ordinálních operací

Zápis kardinálního součtu a součinu se nápadně podobá definici ordinálního součtu a ordinálního součinu (viz článek Ordinální aritmetika). Rozdíl je v tom, že u ordinálních operací se zajímám o typ dobrého uspořádání výsledné množiny - a dostávám tedy ze dvou ordinálních čísel opět ordinální číslo, zatímco u kardinálních operací se zajímám o mohutnost výsledné množiny - a dostávám tedy ze dvou kardinálních čísel opět kardinální číslo.

Protože každé kardinální číslo je zároveň ordinálním číslem, je třeba mezi oběma sadami operací rozlišovat, neboť výsledky se mohou lišit - shodují se pouze na konečných množinách.

Snadno se můžeme přesvědčit, že následující vztahy platí pro kardinální i pro ordinální operace stejně (stačí si dosadit použité množiny do definice součtu a součinu):

• $3+7=10$
• $3.7=21$
• $1+\omega =\omega$
• $3.\omega =\omega$

Existují ale poměrně jednoduché příklady, kde se ordinální a kardinální operace neshodují:

• $\omega +7>\omega$ pro ordinální součet, ale
• $\omega +7=\omega$ pro kardinální součet.
• $\omega .\omega >\omega$ pro ordinální součin, ale
• $\omega .\omega =\omega$ pro kardinální součin.

Trivialita kardinálního součtu a součinu

Kardinální součet a součin jsou poměrně triviální a nezajímavé (z pohledu teorie množin) operace. Jejich vlastnosti se dají shrnout do dvou řádků:

• pro dva konečné kardinály (tj. pro přirozená čísla) odpovídají kardinální součet a součin běžně používaným operacím součtu a součinu
• pokud je alespoň jeden ze sčítanců (resp. jeden z činitelů) nekonečný je hodnota součtu i součinu rovna maximu z obou sčítanců (resp. činitelů): $\lambda .\mu =\lambda +\mu =\max (\lambda ,\mu )$

Pokud použiji zápis nekonečných kardinálů pomocí funkce alef, dostávám tvrzení

• $(\mathrm{\forall }\alpha ,\beta \in On)({\mathrm{\aleph }}_{\alpha }.{\mathrm{\aleph }}_{\beta }={\mathrm{\aleph }}_{\alpha }+{\mathrm{\aleph }}_{\beta }=\max ({\mathrm{\aleph }}_{\alpha },{\mathrm{\aleph }}_{\beta }))$

Definice kardinální mocniny

Jsou-li $\lambda ,\mu$ dvě kardinální čísla, pak definujeme jejich kardinální mocninu ${\lambda }^{\mu }$ jako mohutnost množiny všech zobrazení množiny $\mu$ do množiny $\lambda$.

Základní vlastnosti kardinální mocniny

Kardinální mocnina má podobné základní vlastnosti jako běžná mocnina na přirozených číslech nebo ordinální mocnina:

• $0^0=1$
• $0^{\lambda }=0$ pro $\lambda >0$
• ${\lambda }^0=1$
• $1^{\lambda }=1$
• ${\lambda }^{{\mu }_1+{\mu }_2}={\lambda }^{{\mu }_1}.{\lambda }^{{\mu }_2}$
• $({\lambda }^{{\mu }_1}{)}^{{\mu }_2}={\lambda }^{{\mu }_1.{\mu }_2}$

Stejně jako součet a součin, i mocnina se na oboru nekonečných kardinálů začíná podstatně lišit od ordinální mocniny:

• ${\lambda }^{\mu }=\lambda$ pro $\lambda$ nekonečné a $\mu$ konečné
• ${\lambda }^{\mu }=2^{\mu }$ pro $\mu$ nekonečné a $2\le \lambda \le \mu$

První z těchto dvou vztahů nám říká, že konečné exponenty pro nekonečný základ nejsou zajímavé, neboť dostanu opět původní číslo.

Pokud do druhého vzorce dosadím $\lambda =\omega$ a $\mu =\omega$, dostávám výsledek
${\omega }^{\omega }=2^{\omega }$,
což znamená, že všech zobrazení z přirozených čísel do přirozených čísel je stejně jako zobrazení přirozených čísel do množiny $\{0,1\}$ - a to je vlastně totéž, jako potenční množina $\mathbb{P}(\omega )$

Dá se ukázat, že $\mathbb{P}(\omega )$ má stejnou mohutnost jako množina $ℝ$ všech reálných čísel, tj. $|\mathbb{P}(\omega )|=|ℝ|=2^{\omega }$ - proto je tato mohutnost obvykle označována jako mohutnost kontinua.

Co víme o kardinálních mocninách čísla 2

Nabízí se zdánlivě jednoduchá otázka: který kardinál je mohutnost kontinua, tj. (přeloženo do značení pomocí funkce alef, kde $\omega ={\mathrm{\aleph }}_0$ ) pro které $\alpha$ platí
${\mathrm{\aleph }}_{\alpha }=2^{{\mathrm{\aleph }}_0}$ ?

Tato zdánlivě jednoduchá otázka nemá z běžných axiomů teorie množin (ZF) odpověď. Jednu z možných odpovědí dává hypotéza kontinua: $2^{{\mathrm{\aleph }}_0}={\mathrm{\aleph }}_1$, což je intuitivně asi nejpřijatelnější. Tato hypotéza se nedá dokázat ani vyvrátit z axiomů teorie množin, je na nich nezávislá. Stejně tak je nezávislá i hypotéza $2^{{\mathrm{\aleph }}_0}={\mathrm{\aleph }}_2$ nebo $2^{{\mathrm{\aleph }}_0}={\mathrm{\aleph }}_{137}$ .

Jediné, co lze spolehlivě zjistit z axiomů teorie množin o průběhu funkce $2^{{\mathrm{\aleph }}_{\alpha }}$ jsou následující tři údaje:

1. $\alpha \le \beta ⟹2^{{\mathrm{\aleph }}_{\alpha }}\le 2^{{\mathrm{\aleph }}_{\beta }}$
2. ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha }<2^{{\mathrm{\aleph }}_{\alpha }}$
3. ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha }<cf(2^{{\mathrm{\aleph }}_{\alpha }})$ , kde $cf(\lambda )$ je kofinál kardinálu kde $\lambda$

Zobecněním hypotézy kontinua získáváme lepší představu o tom, jak se chovají kardinální mocniny čísla 2 pro všechny kardinály:
$2^{{\mathrm{\aleph }}_{\alpha }}={\mathrm{\aleph }}_{\alpha +1}$ pro každý ordinál $\alpha$

I tato hypotéza je však nezávislá na axiomech teorie množin. Nezávislé je dokonce i tvrzení, které vypadá na první pohled velice podezřele:
Kterýkoliv regulární kardinál může být první, na kterém bude porušena zobecněná hypotéza kontinua.

Například tedy můžeme klidně tvrdit, že

• $2^{{\mathrm{\aleph }}_0}={\mathrm{\aleph }}_1$
• $2^{{\mathrm{\aleph }}_1}={\mathrm{\aleph }}_2$
• $2^{{\mathrm{\aleph }}_2}={\mathrm{\aleph }}_3$
• $2^{{\mathrm{\aleph }}_3}={\mathrm{\aleph }}_4$

ale

• $2^{{\mathrm{\aleph }}_4}={\mathrm{\aleph }}_{100}$

Takováto „hypotéza“ je opět nezávislá na axiomech teorie množin - udivující v tomto případě je především to, že ji nelze vyvrátit.

Související články

• Kardinální číslo
• Ordinální aritmetika
• Hypotéza kontinua
• Zobecněná hypotéza kontinua
• Regulární kardinál
• Singulární kardinál
• Hypotéza singulárních kardinálů
• Kofinál
• Funkce gimel