Hypotéza singulárních kardinálů

Hypotéza singulárních kardinálů (někdy také označovaná zkratkou SCH) je tvrzení z oboru teorie množin, které (pokud je přijato) zjednodušuje výpočet kardinální mocniny.

Toto tvrzení bylo formulováno R.Solovayem v roce 1974 v následujícím tvaru:

Formulace hypotézy

Pro každý singulární kardinál ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha }$ platí
$\gimel ({\mathrm{\aleph }}_{\alpha })=max({\mathrm{\aleph }}_{\alpha +1},2^{cf({\mathrm{\aleph }}_{\alpha })})$

• ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha }$ je zápis pro funkci alef používanou pro označování nekonečných kardinálů
• $\gimel$ je zápis pro funkci gimel
• $cf({\mathrm{\aleph }}_{\alpha })$ je zápis pro kofinál kardinálního čísla

Hypotézu lze ekvivalentně formulovat také:

• Jestliže pro nekonečné kardinální číslo $\kappa$ platí nerovnost $2^{\mathrm{cf}\kappa }<\kappa$, pak ${\kappa }^{\mathrm{cf}\kappa }={\kappa }^{+}$, kde ${\kappa }^{+}$ značí následníka $\kappa$.

Postavení hypotézy v teorii množin

Jak sám název napovídá, jedná se o hypotézu – tj. tvrzení, které zatím nebylo dokázáno z axiomů teorie množin a jsou dobré důvody se domnívat, že ani dokazatelné není.
SCH je důsledkem zobecněné hypotézy kontinua, což mimo jiné znamená, že je bezesporná s axiomy ZF – to vyplývá z bezespornosti samotné zobecněné hypotézy kontinua. Mezi oběma hypotézami ale neplatí ekvivalence – SCH je tedy „slabší“ tvrzení. Menachem Magidor roku 1977 dokázal, že SCH není dokazatelná v ZFC, pokud je existence superkompaktního kardinálu bezesporná s axiomy ZFC.

Význam hypotézy

Hlavním významem SCH je, že podstatným způsobem zjednodušuje výpočet kardinální mocniny. Jsou-li ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha }$ a ${\mathrm{\aleph }}_{\beta }$ libovolné nekonečné kardinály, pak (za předpokladu přijetí SCH) platí:

• ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha }^{{\mathrm{\aleph }}_{\beta }}=2^{{\mathrm{\aleph }}_{\beta }}$ , pokud ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha }\le 2^{{\mathrm{\aleph }}_{\beta }}$
• ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha }^{{\mathrm{\aleph }}_{\beta }}={\mathrm{\aleph }}_{\alpha }$ , pokud ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha }>2^{{\mathrm{\aleph }}_{\beta }}$ a ${\mathrm{\aleph }}_{\beta }<cf({\mathrm{\aleph }}_{\alpha })$
• ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha }^{{\mathrm{\aleph }}_{\beta }}={\mathrm{\aleph }}_{\alpha +1}$ , pokud ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha }>2^{{\mathrm{\aleph }}_{\beta }}$ a $cf({\mathrm{\aleph }}_{\alpha })\le {\mathrm{\aleph }}_{\beta }$

Související články

• Kardinální aritmetika
• Funkce gimel
• Zobecněná hypotéza kontinua
• Singulární kardinál