Rozdělení gama

Grafy hustot gama rozdělení s různými charakteristikami.

Grafy distribučních funkcí rozdělení gama s různými charakteristikami.

Rozdělení gama je v teorii pravděpodobnosti a statistiky dvouparametrická rodina spojitých rozdělení pravděpodobnosti. Speciálními případy distribuce gama jsou exponenciální rozdělení, Erlangovo rozdělení a rozdělení chí-kvadrát. Běžně se používají tři různé parametrizace distribuce gama:

1. S parametrem tvaru k a parametrem měřítka θ.
2. S parametrem tvaru Šablona:Nowrap a inverzním parametrem měřítka Šablona:Nowrap.
3. S tvarovým parametrem k a střední hodnotou Šablona:Nowrap.

V každé z těchto tří forem jsou oba parametry kladná reálná čísla.

Distribuci gama lze parametrizovat například pomocí tvarového parametru α = k a inverzního parametru škály β = 1 / θ. Mějme náhodnou proměnnou X, která má rozdělení gama s parametry α a β:

$X\sim \mathrm{\Gamma }(\alpha ,\beta )\equiv \mathrm{Gama}(\alpha ,\beta )$.

Odpovídající funkce hustoty pravděpodobnosti v této parametrizaci je

$\begin{array}{cc}f(x;\alpha ,\beta )& =\frac{{\beta }^{\alpha }{x}^{\alpha -1}{e}^{-\beta x}}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}\text{ pro }x>0\alpha ,\beta >0,\\ \end{array}$

kde $\mathrm{\Gamma }(\alpha )$ je funkce gama . Pro všechna kladná celá čísla $\mathrm{\Gamma }(\alpha )=(\alpha -1)!$ .

Kumulativní distribuční funkce je regularizovaná funkce gama:

$F(x;\alpha ,\beta )=\underset{0}{\overset{x}{\int }}f(u;\alpha ,\beta )du=\frac{\gamma (\alpha ,\beta x)}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )},$

kde $\gamma (\alpha ,\beta x)$ je nižší neúplná funkce gama.

Pokud α je kladné celé číslo (tj. distribuce je Erlangovo rozdělení), má tato distribuční funkce následující rozvoj do řady:

$F(x;\alpha ,\beta )=1-\sum _{i=0}^{\alpha -1}\frac{(\beta x{)}^i}{i!}{e}^{-\beta x}=e^{-\beta x}\sum _{i=\alpha }^{\mathrm{\infty }}\frac{(\beta x{)}^i}{i!}.$

$f(x;k,\theta )=\frac{x^{k-1}{e}^{-\frac{x}{\theta }}}{{\theta }^k\mathrm{\Gamma }(k)}\text{ pro }x>0\text{ a }k,\theta >0.$

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat