Distribuční funkce

Distribuční funkce několika normálních rozdělení s různými charakteristikami. Červenou čárou je vyznačeno normované normální rozdělení

Distribuční funkce, funkce rozdělení nebo (spíše lidově) (zleva) kumulovaná pravděpodobnost (Šablona:Vjazyce2) je funkce, která udává pravděpodobnost, že hodnota náhodné proměnné je menší než zadaná hodnota.

Distribuční funkce jednoznačně určuje rozdělení pravděpodobnosti a ve spojitém případě je úzce spjatá s hustotou pravděpodobnosti.

Definice

V horním obrázku je vyobrazena diskrétní distribuční funkce, v prostředním spojitá distribuční funkce, ve spodním obrázku nespojitá distribuční funkce spojité náhodné proměnné

Nechť $X$ je náhodná proměnná z určitého rozdělení a $x$ je libovolné reálné číslo. Potom funkci $F:ℝ\to ⟨0,1⟩$ definovanou předpisem

$F(x)=\mathrm{P}(X\le x)$

nazýváme distribuční funkce tohoto rozdělení.

Diskrétní proměnná

Pokud existuje posloupnost realizací náhodné proměnné $\{x_n\}$ tak, že pro $\sum _n\mathrm{P}(X=x_n)=1$, pak nazveme $p_n=\sum _n\mathrm{P}(X=x_n)$ diskrétním rozdělením pravděpodobností náhodné veličiny a pro proměnnou diskrétního typu $X$ platí:

$F(x)=\sum _{n:x_n\le x}{p}_n$, kde $p_n$ jsou pravděpodobnosti jednotlivých hodnot $x_n$.

Spojitá proměnná

Pokud je $X$ spojitá náhodná proměnná s hustotou $f(x)$, potom platí:

$F(x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}f(t)\mathrm{d}t$.

Náhodný vektor

Nechť $𝐗$ je náhodný vektor v ${ℝ}^N$ a $𝐱$ je libovolný vektor hodnot. Distribuční funkci $F_{𝐗}(𝐱)$ definujeme jako:

$F_{𝐗}(𝐱)=\mathrm{P}(X_1\le x_1,X_2\le x_2,\dots ,X_n\le x_n)$

pro libovolný vektor $𝐱=(x_1,x_2,\dots ,x_n)$.

Vlastnosti distribuční funkce

Popis	Matematická formulace
Definiční obor	$0\le F(x)\le 1$
Monotonie	$\alpha <\beta \Rightarrow F(\alpha )\le F(\beta )$
Asymptotické vlastnosti	$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }F(x)=1$ $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }F(x)=0$
Pravděpodobnost intervalu	$\mathrm{P}(\alpha <x\le \beta )=F(\beta )-F(\alpha )$
Spojitost zprava	$\underset{x\to {\alpha }^{+}}{\lim }F(x)=F(\alpha )$
Skok distribuční funkce	$\mathrm{P}(X=x_0)=F(x_0)-\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }F(x)$
Kontinuita distribuční funkce zprava	$\mathrm{P}(X<x)=F(x-0)$
Konečný počet bodů nespojitosti prvního řádu (skoků)	$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }[F(x_i+{\epsilon }_i)-F(x_i-{\epsilon }_i)]=0$

Příklady

V následující tabulce jsou uvedeny příklady distribučních funkcí. Distribuční funkci není možné vždycky vyjádřit explicitním vzorcem, jako je tomu u normálního rozdělení. V tomto případě se používá přímo definice distribuční funkce ve spojitém případě jako funkce horní hranice.

Rozdělení	Distribuční funkce
Rovnoměrné rozdělení na intervalu $[\alpha ,\beta ]$	$F(x)=\{\begin{array}{cc}0& x<\alpha \\ \frac{x-\alpha }{\beta -\alpha }& x\in [\alpha ,\beta ]\\ 1& x>\beta \end{array}$
Normální rozdělení	$F(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}\exp \{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}\}$
Exponenciální rozdělení	$F(x)=\{\begin{array}{cc}0& x<0\\ 1-\exp \{-\lambda x\}& x\ge 0\end{array}$

Odkazy

Související články

• Rozdělení pravděpodobnosti
• Náhodná veličina

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat