Neúplná gama funkce

Neúplná gama funkce je označení dvojice matematických funkcí odvozených z definice gama funkce. Jejich definicí je integrál ze stejné funkce, kterou je definována gama funkce, liší se pouze jeho meze, z nichž jedna je vždy druhým z argumentů neúplné gama funkce.

Definice

Horní gama funkce je definována předpisem

$\mathrm{\Gamma }(s,x)=\underset{x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^{s-1}{e}^{-t}\mathrm{d}t,$

Dolní gama funkce je definována předpisem

$\gamma (s,x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}{t}^{s-1}{e}^{-t}\mathrm{d}t.$

Vlastnosti

Pro komplexní parametr s s reálnou složkou kladnou platí na základě pravidla per partes následující rekurentní vztahy:

$\mathrm{\Gamma }(s+1,x)=s\mathrm{\Gamma }(s,x)+x^s{e}^{-x}$

a

$\gamma (s+1,x)=s\gamma (s,x)-x^s{e}^{-x}.$

Protože gama funkce je definována

$\mathrm{\Gamma }(s)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^{s-1}{e}^{-t}\mathrm{d}t$

platí také

$\mathrm{\Gamma }(s)=\mathrm{\Gamma }(s,0)=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\gamma (s,x)$

a

$\gamma (s,x)+\mathrm{\Gamma }(s,x)=\mathrm{\Gamma }(s).$

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat