Nilradikál okruhu

Nilradikál je pojem z oboru komutativní algebry. Jedná se o ideál v komutativním okruhu složený ze všech nilpotentních prvků. Alternativně může být definován jako radikál nulového ideálu. Odtud plyne značení $\sqrt{(0)}$.

Vlastnosti

• Nilradikál je ideálem, protože máme-li prvky $a,x,y\in R$ takové, že $x^n=0$ a $y^m=0$, pak i $(x+y{)}^{m+n-1}=0$ a $(ax{)}^n=0$.
• Nilradikál je roven průniku všech prvoideálů, což lze dokázat pomocí principu maximality.
• Okruh je složený ze samých nilpotentních prvků a jednotek právě tehdy, když je faktorokruh podle nilradikálu komutativním tělesem.

Příklady

• V okruhu modulární aritmetiky $\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$ je nilradikál tvořen prvky $0,2,4,6$.
• V okruhu $\mathbb{Z}/36\mathbb{Z}$ jsou dva prvoideály, totiž hlavní ideály $(2)$ a $(3)$. Jejich průnikem je ideál $(6)=0,6,12,18,24,30$, který je nilradikálem, ale není prvoideálem.
• V okruhu mnohočlenů s proměnnými $X_1,\dots ,X_n$ nad okruhem $R$ je nilradikál tvořen těmi mnohočleny, které mají všechny koeficienty nilpotentní.