Radikál ideálu

Radikál ideálu je pojem z abstraktní algebry, přesněji z teorie okruhů. Pro ideál $I$ komutativního okruhu $R$ se radikálem ideálu $I$ rozumí množina všech prvků okruhu $R$, jejichž konečná mocnina padne do $I$. Značí se $\sqrt{I}$ nebo $\mathrm{Rad}(I)$. S tímto značením je možno definici vyjádřit následovně:

$\sqrt{I}=\{r\in R\mid \mathrm{\exists }n\in \mathbb{N}:r^n\in I\}.$

Ve speciálním případě, kdy je ideál roven svému radikálu, tedy $\sqrt{I}=I$, je tento ideál nazýván radikálový ideál. Dalším zvláštním případem je radikál nulového ideálu, který je nazýván nilradikál a značen $\sqrt{(0)}$.

Vlastnosti

• Radikál ideálu je ideál.
• Platí $\mathrm{Rad}(\mathrm{Rad}(I))=\mathrm{Rad}(I)$, jinými slovy operace určení radikálu je idempotentní a radikál ideálu je vždy radikálovým ideálem.
• Radikál ideálu $I$ je roven průniku všech prvoideálů obsahujících $I$.