Prvoideál (teorie okruhů)

Prvoideálem v okruhu $R$ je každý takový vlastní ideál $𝔭\subseteq R$, že pro libovolné dva ideály $𝔞,𝔟\subseteq R$ splňující $𝔞𝔟\subseteq 𝔭$ (tedy jejichž součin je podmnožinou $𝔭$) platí $𝔞\subseteq 𝔭$ nebo $𝔟\subseteq 𝔭$.

Jedná se o analogii prvočísel, u kterých lze obdobně vyslovit: Přirozené číslo $p$ je prvočíslem právě tehdy, pokud pro jakákoliv dvě přirozená čísla $a,b$ platí, že pokud $p$ dělí $ab$, pak $p$ dělí $a$ nebo $p$ dělí $b$.

Příklady

• Ideál $n\mathbb{Z}$ je prvoideálem pravě když je $n$ prvočíslo
• V okruhu $\mathbb{Z}[X]$ všech polynomů s koeficienty z celých čísel je prvoideálem například ideál generovaný prvky 2 a X (jedná se o ideál tvořený všemi polynomy, které mají konstantní koeficient sudý).
• Každý maximální ideál je prvoideálem