Nilpotentní prvek

Nilpotentní prvek je v matematice takový prvek $a$ okruhu $R$, u kterého pro nějaké přirozené číslo $n$ platí $a^n=0$, tedy jehož nějaká konečná mocnina je rovna nulovému prvku.

Příklady

• V maticovém okruhu čtvercových matic řádu 3 nad reálnými čísly je rovna nulové matici například třetí mocnina matice

  $\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$

• Ve faktorokruhu $\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$, tedy při počítání modulo 8, jsou nilpotentními prvky 2, 4 a 6, protože $2^3\equiv 8\equiv 0,4^2\equiv 16\equiv 0,6^3\equiv 216\equiv 0$

Vlastnosti

• Nilpotentním prvkem nemůže být žádná jednotka.
• Všechny (nenulové) nilpotentní prvky patří mezi dělitele nuly
• V případě komutativních okruhů platí, že všechny nilpotentní prvky tvoří ideál (uzavřenost na sčítání lze nahlédnout z binomické věty), který se nazývá nilradikál. Také platí, že každý prvoideál obsahuje všechny nilpotentní prvky daného okruhu.