Linearizace

Linearizace (někdy také lineární aproximace) je nahrazení části křivky (nebo průběhu funkce) přímkou. Jinak řečeno, jedná se o aproximaci lineární funkcí (jinak také polynomem prvního řádu).

V případě funkce více proměnných se jedná nahrazení části obecné plochy rovinou.

V diferenciálním počtu představuje linearizace nahrazení diferenciální rovnice v určitém rozsahu hodnot lineární diferenciální rovnicí.

Důvodem užití linearizace obvykle bývá zjednodušení navazujících výpočtů.

Způsoby linearizace

Metoda provedení linearizace závisí na důvodu jejího použití.

• Pokud je cílem zjištění přibližné hodnoty funkce v blízkém okolí známého bodu, provádí se obvykle nahrazení funkce její tečnou ve známém bodu. (K určení rovnice tečny se užívá derivace.)

• Pokud je cílem stanovení přibližné rovnice z experimentálně získaných hodnot, používá se obvykle lineární regrese, která je jednou z aplikací metody nejmenších čtverců.

Příklad: Přibližný výpočet e^0,01

Úkolem je přibližně určit hodnotu funkce $f(x)=e^x$ ($e$ představuje Eulerovo číslo, základ přirozeného logaritmu) pro $x=0,01$, přičemž je známá hodnota funkce v bodu $x_0=0$ ($f(x_0)=f(0)=e^0=1$) a dále je známá první derivace ($f^{\prime }(x)=e^x$), která je v bodě $x_0$ rovna $f^{\prime }(x_0)=e^0=1$.

Funkci $f(x)$ nahradíme v blízkém okolí bodu $x_0$ tečnou, jejíž směrnice je určena první derivací. Rovnice tečny bude následující. (Viz také Taylorův polynom.)

$y(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)\cdot (x-x_0)$

$y(x)=1+1\cdot (x-0)=1+x$

Odtud již není problém vypočítat místo hodnoty $f(x)$ pouze přibližnou hodnotu z rovnice tečny $y(x)$.

$f(0,01)\approx y(0,01)=1+0,01=1,01$

Pokud vypočtenou hodnotu 1,01 porovnáme s přesněji vypočtenou hodnotou $e^{0,01}\doteq 1,010050167$, vidíme, že chyba provedeného přibližného odhadu je velmi nízká. (Viz také absolutní chyba a relativní chyba.)

Související články

• Lineární funkce
• Lineární regrese

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat