Lieova závorka

Lieova závorka je operátor, který přiřazuje kterýmkoliv dvěma vektorovým polím X a Y na hladké varietě M, třetí vektorové pole označované [X, Y]. Lieova závorka vystihuje nekomutativitu toků generovanými těmito poli.

Lieova závorka [X, Y] je derivace vektorového pole Y podél toku vytvořeného polem X. Zobecněním Lieovy závorky je derivace, která umožňuje diferenciaci jakéhokoli tenzorového pole podél toku vytvořeného X. Lieova závorka [X, Y] se rovná Lieově derivaci vektoru Y (která je tenzorovým polem) podél X, a je označována:

$[X,Y]={ℒ}_{X}Y$ čteme: Lieova derivace Y podél X.

Každé vektorové pole X na hladké varietě M může být považováno za diferenciální operátor působící na hladké funkce na M. Ve skutečnosti, každé hladké vektorové pole X se stává derivací hladkých funkcí C^∞(M) pokud definujeme X(f) jako element C^∞(M)

Lieova závorka [X, Y] dvou hladkých vektorových polí X a Y je hladké vektorové pole [X, Y], takové že platí:

$[X,Y](f)=X(Y(f))-Y(X(f))\text{ pro každou }f\in C^{\mathrm{\infty }}(M).$

Vlastnosti Lieovy závorky

• $[X,Y]=-[Y,X]$ To je antisymetrie
• $[X,[Y,Z]]+[Z,[X,Y]]+[Y,[Z,X]]=0.$ To je Jacobiho identita.
• $[rX+Y,Z]=r[X,Z]+[Y,Z],$ pro každé $r\in ℝ$ To je linearita
• $[X,fY]=f[X,Y]+X[f]Y,$

Související články

• Konexe
• Levi-Civitova konexe
• Riemannova konexe
• Metrický tenzor