Jedničková matice

Jedničková matice a jedničkový vektor mají všechny prvky rovny jedné. Nesmějí se zaměňovat s jednotkovou maticí $𝐈$ a jednotkovými vektory.

Definice a značení

Jedničková matice nad okruhem $R$ s neutrálním prvkem $1$ je

${𝐉}_{mn}=\left(\begin{array}{ccc}1& \cdots & 1\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ 1& \cdots & 1\end{array}\right)\in R^{m\times n}$ .

Jedničková matice obsahující pouze z jeden sloupec se nazývá jedničkový vektor. Je-li zřejmé, že jde o čtvercovou matici řádu $n$, lze psát jen ${𝐉}_n$, případně indexy zcela vynechat, jsou-li zřejmé nebo nepodstatné. Vzhledem k tomu, že jde o dobře definovanou matematickou konstantu bývá značena neskloněným písmem. Jednotkové matice mohou být značeny $11$ a podobně.

Ukázky

${𝐉}_{22}=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right);{𝐉}_{33}=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 1& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right);{𝐉}_{25}=\left(\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1& 1\end{array}\right);{𝐉}_{12}=\left(\begin{array}{cc}1& 1\end{array}\right)$

Vlastnosti

Algebraické vlastnosti

Jedničková matice může být také reprezentována součinem jedničkových vektorů:

${𝐉}_{mn}={𝐉}_{m1}\cdot ({𝐉}_{n1}{)}^{\mathrm{T}}$

Transponovaná matice k jedničkové matice je opět jedničková matice, neboli:

$({𝐉}_{mn}{)}^{\mathrm{T}}={𝐉}_{nm}$

Jedničková matice ${𝐉}_{mn}$ je neutrálním prvkem v maticovém okruhu $(R^{m\times n},+,\circ )$, přičemž $𝑨+𝑩$ je součet matic a $𝑨\circ 𝑩$ je Hadamardův součin. Pro všechny matice $𝑨\in R^{m\times n}$platí:

$𝑨\circ {𝐉}_{mn}={𝐉}_{mn}\circ 𝑨=𝑨$ .

Hodnost, determinant, stopa

Jedničkové matice $𝐉$ nad tělesem $T$ mají následující vlastnosti:

Hodnost matice je rovna jedné

$\mathrm{rank}{𝐉}_{mn}=1$ .

Determinant čtvercové jedničkové matice je

$\det {𝐉}_{nn}=\{\begin{array}{cc}0& \text{pro}n>1,\\ 1& \text{pro}n=1.\end{array}$

Stopa reálné nebo komplexní čtvercové matice je

$\mathrm{tr}{𝐉}_{nn}=n$ .

Vlastní čísla a vlastní vektory

Charakteristický polynom reálné nebo komplexní jedničkové matice ${𝐉}_{nn}$ je

$\chi (\lambda )={\lambda }^{n-1}(\lambda -n)$ .

Vlastní čísla jsou

${\lambda }_1=n$ a ${\lambda }_2=\dots ={\lambda }_n=0$ .

Příslušné vlastní vektory jsou

$(1,\dots ,1{)}^{\mathrm{T}}$ a $(1,-1,0,\dots ,0{)}^{\mathrm{T}},\dots ,(0,\dots ,0,1,-1{)}^{\mathrm{T}}$ .

Minimální polynom $𝐉$ je $x^2-nx$ .

Součiny

Součin dvou reálných nebo komplexních jedničkových matic je

${𝐉}_{mn}\cdot {𝐉}_{np}=n\cdot {𝐉}_{mp}$ .

Výpočet $k$ -té mocniny čtvercové jedničkové matice pro $k\ge 1$ je dán vztahem

$({𝐉}_{nn}{)}^k=n^{k-1}{𝐉}_{nn}$ .

Matice $\frac{1}{n}{𝐉}_{nn}$ je proto idempotentní, neboli

$\frac{1}{n}{𝐉}_{nn}\cdot \frac{1}{n}{𝐉}_{nn}=\frac{1}{n}{𝐉}_{nn}$ .

Exponenciála jedničkové matice je

$\exp ({𝐉}_{nn})=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{({𝐉}_{nn}{)}^k}{k!}={𝐈}_n+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n^{k-1}}{k!}{𝐉}_{nn}={𝐈}_n+\frac{e^n-1}{n}{𝐉}_{nn}$ ,

Reálná i komplexní čtvercová matice $𝐉$ je pozitivně semidefinitní.

Aplikace

Jedničková matice se používá v kombinatorice, zvláště v algebraické teorii grafů. Například, je-li $𝑨$ matice sousednosti neorientovaného grafu $G$ na $n$ vrcholech a $𝐉$ je jedničková matice řádu $n$, pak $G$ je regulární, právě když $𝑨𝑱=𝑱𝑨$.

Programování

V numerickém softwarovém balíku MATLAB je jedničková matice generována funkcí ones(m,n).

Odkazy

Literatura

• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace elektronické monografie

Související články

• Jednotková matice