Integrální kritérium konvergence

Integrální kritérium použité na harmonickou řadu. Protože plocha pod křivkou Šablona:Math pro $x\in ⟨1,\mathrm{\infty })$ je nekonečná, celková plocha obdélníků musí být také nekonečná.

Integrální kritérium konvergence je v matematice metoda pro zjišťování, zda nekonečná řada s nezápornými členy konverguje. Kritérium objevili Colin Maclaurin a Augustin Louis Cauchy, proto jej někteří autoři nazývají Maclaurinovo–Cauchyovo kritérium.

Tvrzení

Uvažujme celé číslo Šablona:Math a nezápornou funkci Šablona:Math definovanou na neomezeném intervalu $⟨N,\mathrm{\infty })$, na kterém je funkce monotonně klesající. Pak nekonečná řada

$\sum _{n=N}^{\mathrm{\infty }}f(n)$

konverguje k nějakému reálnému číslu právě tehdy, když nevlastní integrál

$\underset{N}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx$

je konečný. Pokud integrál diverguje, pak řada diverguje také.

Poznámka

Pokud je nevlastní integrál konečný, pak důkaz také poskytuje dolní a horní mez součtu nekonečné řady:

Důkaz

Důkaz využívá srovnávací kritérium pro porovnání členu $f(n)$ s integrálem funkce $f$ na intervalech $⟨n-1,n)$, resp. $⟨n,n+1)$.

Je-li Šablona:Math je monotonně klesající funkce, pak

$f(x)\le f(n)\mathrm{\forall }x\in ⟨n,\mathrm{\infty })$

a

$f(n)\le f(x)\mathrm{\forall }x\in ⟨N,n⟩.$

a proto pro každé celé číslo Šablona:Math platí

a pro každé celé číslo Šablona:Math,

Sumací pro všechna Šablona:Math od Šablona:Math do Šablona:Math, dostaneme z (Šablona:Odkaz na vzorec)

$\underset{N}{\overset{M+1}{\int }}f(x)dx=\sum _{n=N}^M\underset{\le f(n)}{\underbrace{\underset{n}{\overset{n+1}{\int }}f(x)dx}}\le \sum _{n=N}^{M}f(n)$

a z (Šablona:Odkaz na vzorec)

$\sum _{n=N}^{M}f(n)\le f(N)+\sum _{n=N+1}^M\underset{\ge f(n)}{\underbrace{\underset{n-1}{\overset{n}{\int }}f(x)dx}}=f(N)+\underset{N}{\overset{M}{\int }}f(x)dx.$

Zkombinování těchto dvou odhadů dostaneme

$\underset{N}{\overset{M+1}{\int }}f(x)dx\le \sum _{n=N}^{M}f(n)\le f(N)+\underset{N}{\overset{M}{\int }}f(x)dx.$

Pro Šablona:Math jdoucí k nekonečnu dostáváme (Šablona:Odkaz na vzorec).

Použití

Harmonická řada

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}$

diverguje, protože aplikací přirozeného logaritmu, jeho primitivní funkce a použitím základní věty integrálního počtu dostaneme

$\underset{1}{\overset{M}{\int }}\frac{1}{n}dn=\ln n{|}_1^M=\ln M\to \mathrm{\infty }\text{pro }M\to \mathrm{\infty }.$

A naopak, řada

$\zeta (1+\epsilon )=\sum _{x=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{x^{1+\epsilon }}$

(srovnejte s Riemannovou funkcí zeta) konverguje pro každé Šablona:Math díky pravidlu pro integraci mocniny

$\underset{1}{\overset{M}{\int }}\frac{1}{x^{1+\epsilon }}dx=-\frac{1}{\epsilon x^{\epsilon }}{|}_1^M=\frac{1}{\epsilon }(1-\frac{1}{M^{\epsilon }})\le \frac{1}{\epsilon }<\mathrm{\infty }\mathrm{\forall }M\ge 1.$

Z (Šablona:Odkaz na vzorec) dostaneme horní odhad

$\zeta (1+\epsilon )=\sum _{x=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{x^{1+\epsilon }}\le \frac{1+\epsilon }{\epsilon },$

který lze porovnávat s nějakými určitými hodnotami Riemannovy funkce zeta.

Hranice mezi divergencí a konvergencí

Výše uvedené příklady s harmonickou řadou vyvolávají otázku, zda existují monotonní posloupnosti tak, že Šablona:Math klesá k nule rychleji než Šablona:Math ale pomaleji než Šablona:Math v tom smyslu, že

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{f(n)}{1/n}=0\text{a}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{f(n)}{1/n^{1+\epsilon }}=\mathrm{\infty }$

pro každé Šablona:Math a zda odpovídající řada Šablona:Math stále diverguje. Pokud nalezneme takovou posloupnost, můžeme položit podobnou otázku, v níž Šablona:Math má roli Šablona:Math, atd. Tímto způsobem je možné zkoumat hranici mezi divergencí a konvergencí nekonečné řady.

Při použití integrálního kritérium konvergence můžeme ukázat (jak je uvedeno níže), že pro každé přirozené číslo Šablona:Math řada Šablona:Vzorec stále diverguje (srovnejte s důkazem, že suma převrácených hodnot prvočísel diverguje pro Šablona:Math) ale Šablona:Vzorec konverguje pro každé Šablona:Math. Zde Šablona:Math označuje Šablona:Math-násobnou aplikaci přirozeného logaritmu definovanou rekurzivně vztahem

${\ln }_k(x)=\{\begin{array}{cc}\ln (x)& \text{pro }k=1,\\ \ln ({\ln }_{k-1}(x))& \text{pro }k\ge 2.\end{array}$

Šablona:Math označuje nejmenší přirozené číslo takové, že je definovaná Šablona:Math-násobná aplikace funkce a Šablona:Math, tj. s použitím tetrace nebo Knuthova zápisu

$N_k\ge \underset{k{e}^{\prime }\text{s}}{\underbrace{e^{e^{{\cdot }^{{\cdot }^e}}}}}=e\uparrow \uparrow k$

Pro zjištění divergence řady (Šablona:Odkaz na vzorec) pomocí integrálního kritéria si všimneme, že opakovaným použitím řetízkového pravidla

$\frac{d}{dx}{\ln }_{k+1}(x)=\frac{d}{dx}\ln ({\ln }_k(x))=\frac{1}{{\ln }_k(x)}\frac{d}{dx}{\ln }_k(x)=\cdots =\frac{1}{x\ln (x)\cdots {\ln }_k(x)},$

tedy

$\underset{N_k}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{dx}{x\ln (x)\cdots {\ln }_k(x)}={\ln }_{k+1}(x){|}_{N_k}^{\mathrm{\infty }}=\mathrm{\infty }.$

Pro zjištění konvergence řady (Šablona:Odkaz na vzorec) si všimneme, že podle pravidla o derivování mocniny, řetízkového pravidla a výše uvedeného výsledku

$-\frac{d}{dx}\frac{1}{\epsilon ({\ln }_k(x){)}^{\epsilon }}=\frac{1}{({\ln }_k(x){)}^{1+\epsilon }}\frac{d}{dx}{\ln }_k(x)=\cdots =\frac{1}{x\ln (x)\cdots {\ln }_{k-1}(x)({\ln }_k(x){)}^{1+\epsilon }},$

tedy

$\underset{N_k}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{dx}{x\ln (x)\cdots {\ln }_{k-1}(x)({\ln }_k(x){)}^{1+\epsilon }}=-\frac{1}{\epsilon ({\ln }_k(x){)}^{\epsilon }}{|}_{N_k}^{\mathrm{\infty }}<\mathrm{\infty }$

přičemž (Šablona:Odkaz na vzorec) dává meze pro součet nekonečné řady (Šablona:Odkaz na vzorec).

Odkazy

Související články

• Kritéria konvergence řad
• Konvergence (matematika)
• Přímé srovnávací kritérium
• Lebesgueova věta
• Eulerův-Maclaurinův vzorec
• Limitní srovnávací kritérium
• Věta o monotonní konvergenci

Literatura

• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace monografie