Kritéria konvergence řad

Kritéria konvergence jsou v matematice metody testování konvergence, podmíněné konvergence, absolutní konvergence, intervalové konvergence nebo divergence nekonečných řad $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ .

Kritéria konvergence

Určení součtu řady a tedy rozhodnutí o konvergenci nebo divergenci bývá často poměrně složité. V mnoha případech je postačující nahradit součet nekonečné řady $s$ jejím $n$ -tým částečným součtem $s_{n}$ . U konvergentních řad se chyba $| s_{n} - s |$ , které se touto náhradou dopouštíme, s rostoucím $n$ zmenšuje. U divergentních řad tomu tak ale není. Je tedy důležité umět rozhodnout o konvergenci nebo divergenci dané řady, aniž bychom získali součet řady.

K tomuto účelu můžeme použít buď přímo podmínky konvergence řad, nebo tzv. kritéria konvergence řad.

Kritéria konvergence řad ulehčují rozhodnutí o konvergenci (nebo divergenci) nekonečné řady. Kritérií pro určování konvergence existuje celá řada, přičemž každý řešený případ je nutno posuzovat zvlášť a zvolit vhodné kritérium.

Srovnávací kritérium

Při srovnávacím (porovnávacím) kritériu uvažujeme dvě řady s nezápornými členy $\sum a_{n}, \sum b_{n}$ , přičemž pro všechna $n$ platí $0 \leq a_{n} \leq b_{n}$ . Řadu $\sum a_{n}$ označujeme jako minorantní řadu (minorantu) k řadě $\sum b_{n}$ a řadu $\sum b_{n}$ jako majorantní řadu (majorantu) k řadě $\sum a_{n}$ . Potom platí, že pokud konverguje majoranta, tzn. $\sum b_{n}$ , konverguje také minoranta, tedy $\sum a_{n}$ . Diverguje-li minoranta $\sum a_{n}$ , diverguje také majoranta, tedy $\sum b_{n}$ .

Podílové kritérium

Při podílovém kritériu konverguje řada s kladnými členy $\sum a_{n}$ tehdy, existuje-li reálné číslo $0 < q < 1$ takové, že pro každé $n$ platí $\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \leq q$ . Pokud je $\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \geq 1$ , pak řada diverguje.

Limitní podílové kritérium

Šablona:Podrobně Zavedeme-li pro řadu s kladnými členy $\sum a_{n}$ veličinu $L = \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ , pak dostáváme tzv. limitní podílové kritérium konvergence, podle kterého je řada $\sum a_{n}$ konvergentní pro $L < 1$ , divergentní pro $L > 1$ a pro $L = 1$ může být konvergentní nebo divergentní.

Odmocninové kritérium

Při odmocninovém (Cauchyově) kritériu uvažujeme, že řada s kladnými členy $\sum a_{n}$ konverguje, pokud existuje reálné číslo $0 \leq q < 1$ a pro každé $n$ platí $\sqrt[n]{a_{n}} \leq q$ . Pro případ $\sqrt[n]{a_{n}} > 1$ řada diverguje.

Limitní odmocninové kritérium

Šablona:Podrobně Pokud pro řadu s kladnými členy $\sum a_{n}$ zavedeme $K = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_{n}}$ , pak můžeme použít limitní odmocninové kritérium, podle kterého je řada konvergentní pro $K < 1$ , divergentní pro $K > 1$ a pro $K = 1$ může konvergovat nebo divergovat.

Raabeovo kritérium

Šablona:Podrobně Podle Raabeova kritéria je řada s kladnými členy $\sum a_{n}$ konvergentní tehdy, pokud existuje takové $r \in ℝ, r > 1$ a takové přirozené číslo $n_{0} \in ℕ$ , že pro všechna $n \geq n_{0}$ platí $n (1 - \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}) \geq r > 1$ .

Jestliže existuje $n_{0} \in ℕ$ takové, že pro všechna $n \geq n_{0}$ platí $n (1 - \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}) \leq 1$ , pak řada $\sum a_{n}$ diverguje.

Limitní Raabeovo kritérium

Šablona:Podrobně Jestliže pro řadu s kladnými členy $\sum a_{n}$ zavedeme $M = \lim_{n \to \infty} n (1 - \frac{a_{n + 1}}{a_{n}})$ , pak na základě limitního Raabeova kritéria určíme, že řada konverguje pro $M > 1$ , diverguje pro $M < 1$ a pro $M = 1$ může konvergovat i divergovat.

Integrální kritérium

Nechť $\sum a_{n}$ je řada s kladnými členy, jejíž členy lze vyjádřit jako $a_{n} = f (n)$ . Pokud ve funkci $f (n)$ nahradíme diskrétní proměnnou $n$ spojitou proměnnou $x$ , přičemž $f (x)$ bude spojitou a klesající funkcí na intervalu $⟨ 1, + \infty)$ , pak podle tzv. integrálního kritéria je řada $\sum a_{n}$ konvergentní tehdy, pokud konverguje integrál $\int_{a}^{\infty} f (x) d x$ . Pokud integrál $\int_{a}^{\infty} f (x) d x$ diverguje, pak diverguje také řada $\sum a_{n}$ .

Leibnizovo kritérium

Pro alternující řady, které zapíšeme jako $\sum_{n = 1}^{\infty} {(- 1)}^{n} a_{n}$ , kde $a_{n} \geq 0$ , lze použít Leibnizovo kritérium. Podle tohoto kritéria konverguje uvedená alternující řada tehdy, pokud existuje $n_{0}$ takové, že $a_{n_{0}} > a_{n_{0} + 1} > a_{n_{0} + 2} > . . .$ (tj. od určitého indexu ryze monotónně klesá), a zároveň $\lim_{n \to \infty} a_{n} = 0$ .

Gaussovo kritérium

^[1]Nechť $(a_{n})$ je kladná posloupnost, pro niž existují $q, α \in ℝ$ , kladné $ε$ a omezená posloupnost $(c_{n})$ taková, že pro všechny $n \in ℕ$ platí:

\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = q - \frac{α}{n} + \frac{c_{n}}{n^{1 + ε}}

Když $q < 1$ nebo když $q = 1$ a $α > 1$ , pak řada $\sum a_{n}$ konverguje.
Když $q > 1$ nebo když $q = 1$ a $α \leq 1$ , pak řada $\sum a_{n}$ diverguje.

Dirichletovo kritérium

Nechť $(a_{n})$ je reálná posloupnost a $(b_{n})$ komplexní posloupnost, pro které platí:

$(a_{n})$ je od jistého indexu monotonní a $\lim_{n \to \infty} a_{n} = 0$ ;
$(b_{n})$ má omezenou posloupnost částečných součtů.

Pak řada $\sum a_{n} b_{n}$ konverguje.

Abelovo kritérium

Nechť $(a_{n})$ je reálná posloupnost a $(b_{n})$ komplexní posloupnost, pro které platí:

$(a_{n})$ je monotonní a omezená;
$\sum b_{n}$ je konvergentní řada.

Pak řada $\sum a_{n} b_{n}$ konverguje.

Existuje také verze Abelova kritéria stejnoměrné konvergence pro řady funkcí.

Příklady

Uvažujme řadu

$(*) \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{α}} .$

Z Cauchyova kondenzačního testu vyplývá, že (*) je konečně konvergentní, jestliže

(* *) \sum_{n = 1}^{\infty} 2^{n} {(\frac{1}{2^{n}})}^{α}

je konečně konvergentní. Protože

\sum_{n = 1}^{\infty} 2^{n} {(\frac{1}{2^{n}})}^{α} = \sum_{n = 1}^{\infty} 2^{n - n α} = \sum_{n = 1}^{\infty} 2^{(1 - α) n}

(**) je geometrická řada s kvocientem $2^{(1 - α)}$ . (**) je konečně konvergentní, jestliže její kvocient je menší než jedna (jmenovitě $α > 1$ ). Tedy (*) je konečně konvergentní právě tehdy, když $α > 1$ .

Konvergence součinů

Většina testů sice zkoumá konvergenci nekonečných řad, ale mohou být také použity pro zjištění konvergence nebo divergence nekonečných součinů. Toho lze dosáhnout použitím následující věty: Nechť ${a_{n}}_{n = 1}^{\infty}$ je posloupnost kladných čísel. Pak nekonečný součin $\prod_{n = 1}^{\infty} (1 + a_{n})$ konverguje právě tehdy, když konverguje řada $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ . Dále obdobně, jestliže $0 < a_{n} < 1$ platí, pak $\prod_{n = 1}^{\infty} (1 - a_{n})$ se blíží nenulové limitě právě tehdy, když konverguje řada $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ .

Tvrzení lze dokázat aplikací funkce logaritmus na součin a použitím věty o porovnání limit.^[2]

Odkazy

Reference

Šablona:Překlad

Související články

Literatura

Šablona:Citace monografie

Externí odkazy

Flowchart pro výběr kritérium konvergence Šablona:Wayback

Šablona:Pahýl Šablona:Autoritní data

[1] Springer online, Gauss criterion

[2] Šablona:Citace elektronické monografie

[1]

[2]

Kritéria konvergence řad

Obsah