Iniciální a terminální objekt
Iniciální objekt kategorie Šablona:Mvar je v matematickém oboru teorie kategorií objekt Šablona:Mvar v Šablona:Mvar takový, že pro každý objekt Šablona:Mvar v Šablona:Mvar, existuje právě jeden morfismus Šablona:Math.
Duálním pojmem je terminální objekt (také nazývaný terminální prvek): Šablona:Mvar je terminální, pokud pro každý objekt Šablona:Mvar v Šablona:Mvar existuje právě jeden morfismus Šablona:Math. Iniciální objekty se také nazývají koterminál nebo univerzální, a terminální objekty se také nazývají finální.
Objekt, který je jak iniciální tak terminální, se nazývá nulový objekt.
Striktně iniciální objekt Šablona:Mvar je takový objekt, pro který každý morfismus do Šablona:Mvar je izomorfismem.
Příklady
- Prázdná množina je jediným iniciálním objektem v kategorii množin Set. Každá jednoprvková množina (singleton) je v této kategorii terminálním objektem; v kategorii Set neexistují žádné nulové objekty. Podobně je prázdný prostor jediným iniciálním objektem v kategorii topologických prostorů Top a každý jednobodový prostor je terminálním objektem v této kategorii.
- V kategorii množin a relací Rel je prázdná množina jediným iniciálním objektem a jediným terminálním objektem, a je tedy jediným nulovým objektem.
- V kategorii grup Grp je libovolná triviální grupa nulovým objektem. Triviální objekt je nulovým objektem také v kategorii Abelových grup Ab, v kategorii pseudookruhů Rng, v kategorii modulů nad okruhem R-Mod a v kategorii vektorových prostorů nad tělesem K-Vect. Detaily viz Nulový objekt (algebra). Odtud pochází termín „nulový objekt“.
- V kategorii okruhů Ring s jednotkou a s jednotkou zachovávajícími morfismy je okruh celých čísel Z iniciálním objektem. Nulový okruh sestávající pouze z jediného prvku Šablona:Math je terminálním objektem.
- V kategorii polookruhů Rig, s jednotkou a s jednotkou zachovávajícími morfismy je iniciálním objektem polookruh přirozených čísel N. Nulový polookruh, který je nulovým okruhem sestávajícím pouze z jediného prvku Šablona:Math, je terminálním objektem.
- V kategorii polí (komutativních těles) Field neexistují žádné iniciální nebo terminální objekty. V podkategorii polí pevné charakteristiky je však prvotěleso iniciálním objektem.
- Libovolnou uspořádanou množinu Šablona:Math lze interpretovat jako kategorii: jejími objekty jsou prvky množiny Šablona:Math, a existuje jediný morfismus Šablona:Math do Šablona:Math právě tehdy, když Šablona:Math. Tato kategorie má iniciální objekt právě tehdy, když Šablona:Math má nejmenší prvek; a terminální objekt právě tehdy, když Šablona:Math má největší prvek.
- Kategorie malých kategorií Cat s funktory jako morfismy má prázdnou kategorii, 0 (bez objektů a bez morfismů), jako iniciální objekt a terminální kategorie, 1 (s jediným objektem s jediný identickým morfismem), jako terminální objekt.
- V kategorii schémat Spec(Z) je prvočíselné spektrum okruhu celých čísel terminálním objektem. Prázdné schéma (rovné prvočíselnému spektru nulového okruhu) je iniciálním objektem.
- Limita diagramu F může být charakterizována jako terminální objekt v kategorii kuželů do F. Obdobně kolimita diagramu F může být charakterizována jako iniciální objekt v kategorii ko-kuželů z F.
- V kategorii ChR řetězových komplexů nad komutativním okruhem R, nulový komplex je nulovým objektem.
- V krátké exaktní posloupnost tvaru Šablona:Nowrap je iniciálním a terminálním objektem anonymní nulový objekt. Toho se často používá v teorii kohomologií.
Vlastnosti
Existence a jednoznačnost
Iniciální a terminální objekty nemusí v určité kategorii vůbec existovat. Pokud však existují, jsou v podstatě jedinečné. Speciálně pokud Šablona:Math a Šablona:Math jsou dva různé iniciální objekty, pak mezi nimi existuje jediný izomorfismus. Pokud navíc Šablona:Mvar je iniciálním objektem, pak libovolný objekt izomorfní s Šablona:Mvar je také iniciální objekt. Totéž platí pro terminální objekty.
Pro úplné kategorie existuje věta o existenci iniciálních objektů. Speciálně (lokálně malá) úplná kategorie Šablona:Mvar má iniciální objekt právě tehdy, když existuje množina Šablona:Mvar (nikoli vlastní třída) a Šablona:Mvar-indexovaná rodina Šablona:Math objektů kategorie Šablona:Mvar taková, že pro libovolný objekt Šablona:Mvar kategorie Šablona:Mvar, existuje alespoň jeden morfismus Šablona:Math pro nějaké Šablona:Math.
Ekvivalentní formulace
Terminální objekty v kategorii Šablona:Mvar je možné definovat také jako limity jedinečného prázdného diagramu Šablona:Math. Protože prázdná kategorie je prázdná diskrétní kategorie, terminální objekt si lze představit jako prázdný součin (součin je skutečně limitou diskrétního diagramu , obecně). A naopak, iniciální objekt je kolimitou prázdného diagramu Šablona:Math a lze si jej představit jako prázdný koprodukt nebo kategoriální součet.
Z toho plyne, že libovolný funktor, který zachovává limity, bude zobrazovat terminální objekty na terminální objekty, a libovolný funktor, který zachovává kolimity, bude zobrazovat iniciální objekty na iniciální objekty. Například iniciálním objektem v libovolné konkrétní kategorii s volnými objekty bude volný objekt generovaný prázdnou množinou (volný funktor zachovává kolimity, protože je zleva adjungovaný k zapomínajícímu funktoru do kategorie Set).
Iniciální a terminální objekty lze charakterizovat také z hlediska univerzální vlastnosti a adjungovaného funktoru. Nechť 1 je diskrétní kategorie s jediným objektem (označovaným symbolem •), a nechť Šablona:Math je jedinečný (konstantní) funktor na 1. Pak
- Iniciální objekt Šablona:Mvar v Šablona:Mvar je univerzální morfismus z • do Šablona:Mvar. Funktor, který zobrazuje • do Šablona:Mvar, je zleva adjungovaný na U.
- Terminální objekt Šablona:Mvar v Šablona:Mvar je univerzální morfismus Šablona:Mvar do •. Funktor, který zobrazuje • do Šablona:Mvar, je zprava adjungovaný na Šablona:Mvar.
Vztah k jiným kategoriálním konstrukcím
Mnoho přirozených konstrukcí v teorie kategorií lze formulovat z hlediska hledání iniciálního nebo terminálního objekt ve vhodné kategorii.
- Univerzální morfismus objektu Šablona:Mvar do funktoru Šablona:Mvar lze definovat jako iniciální objekt v čárkové kategorii Šablona:Math. A naopak, univerzální morfismus Šablona:Mvar do Šablona:Mvar je terminálním objektem v Šablona:Math.
- Limita diagramu Šablona:Mvar je terminálním objektem v Šablona:Math kategorie kuželů do Šablona:Mvar. A naopak, kolimita diagramu Šablona:Mvar je iniciálním objektem v kategorii kuželů z Šablona:Mvar.
- Reprezentace funktoru Šablona:Mvar do Set je iniciálním objektem v kategorii prvků funktoru Šablona:Mvar.
- Pojem terminálního funktoru (resp. iniciálního funktoru) je zobecněním pojmu terminálního objektu (resp. iniciálního objektu).
Další vlastnosti
- Monoidový endomorfismus iniciálního nebo terminálního objektu Šablona:Mvar je triviální: .
- Má-li kategorie Šablona:Mvar nulový objekt Šablona:Math, pak pro libovolnou dvojici objektů Šablona:Mvar a Šablona:Mvar z Šablona:Mvar je jedinečná kompozice Šablona:Math nulovým morfismem z Šablona:Mvar do Šablona:Mvar.