Arkus sekans

Grafy funkcí arkus sekans a arkus kosekans

Arkus sekans (psáno také jako arkussekans) je cyklometrická funkce. Značí se $\mathrm{arcsec}x$.

Definice

Funkce $y=\mathrm{arcsec}x$ je inverzní k funkci $x=\sec y(0\le y\le \pi ,y\ne \frac{\pi }{2})$; je definována pro $x\in (-\mathrm{\infty },-1⟩\cup ⟨1,+\mathrm{\infty })$

Vlastnosti

Značení:	$y=\mathrm{arcsec}x$ $\left(\text{resp.}{\sec }^{-1}x\right)$
Definiční obor	$(-\mathrm{\infty },-1⟩\cup ⟨1,+\mathrm{\infty })$
Obor hodnot	$⟨0,\frac{\pi }{2})\cup (\frac{\pi }{2},\pi ⟩$
Omezenost	Je omezená
Monotonie	Je ryze rostoucí na intervalu $(-\mathrm{\infty },-1⟩$ Je ryze rostoucí na intervalu $⟨1,+\mathrm{\infty })$ Není ryze rostoucí na svém definičním oboru, ale je prostá
Symetrie	Není lichá ani sudá, ale graf je souměrný podle středu $(x,y)=(0,\frac{\pi }{2})$
Periodicita	Není periodická
Limity	$\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\lim }\mathrm{arcsec}x=\frac{\pi }{2}$
Inverzní funkce	$x=\sec y$   (sekans)
Derivace	$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{arcsec}x=\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$
Integrál	$\int \mathrm{arcsec}x\mathrm{d}x=x\mathrm{arcsec}(x)-\frac{x}{|x|}\ln |x+\sqrt{x^2-1}|+C$
Taylorova řada	$\mathrm{arcsec}x=\frac{\pi }{2}-x^{-1}-\frac{1}{3}{x}^{-3}-\frac{3}{40}{x}^{-5}-\frac{5}{112}{x}^{-7}+\dots$ v okolí nekonečna
Významné hodnoty	$\begin{array}{ccccccccc}x& -2& -\sqrt{2}& -\frac{2}{\sqrt{3}}& -1& 1& \frac{2}{\sqrt{3}}& \sqrt{2}& 2\\ \mathrm{arcsec}x& \frac{2\pi }{3}& \frac{3\pi }{4}& \frac{5\pi }{6}& \pi & 0& \frac{\pi }{6}& \frac{\pi }{4}& \frac{\pi }{3}\end{array}$

Vzorce

$\begin{array}{ccc}\mathrm{arcsec}x+\mathrm{arccsc}x& =& \frac{\pi }{2}\\ \mathrm{arcsec}x+\mathrm{arcsec}(-x)& =& \pi \\ \mathrm{arcsec}x+\mathrm{arcsec}y& =& \mathrm{arcsec}\left(\frac{xy}{1-xy\sqrt{(1-\frac{1}{x^2})(1-\frac{1}{y^2})}}\right)\\ \mathrm{arcsec}x-\mathrm{arcsec}y& =& \mathrm{arcsec}\left(\frac{xy}{1+xy\sqrt{(1-\frac{1}{x^2})(1-\frac{1}{y^2})}}\right)\end{array}$

$\mathrm{arcsec}x=\arccos \left(\frac{1}{x}\right)$

$\mathrm{arcsec}x=\underset{1}{\overset{x}{\int }}\frac{\mathrm{d}t}{t\sqrt{t^2-1}},x\ge 1$

$\mathrm{arcsec}x=\frac{\pi }{2}-\frac{\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}}{x-\frac{2x}{3x^2-\frac{2x^2}{5x^2-\frac{12x^2}{7x^2-\frac{12x^2}{9x^2-\dots }}}}},|x|>1$

Graf

Graf funkce arkus sekans

Odkazy

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat
• BARTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. 3., rev. vyd. Přeložil Zdeněk TICHÝ. Praha: Mladá fronta, 1996. Šablona:ISBN.

Šablona:Goniometrické funkce