Arkus kosekans

Grafy funkcí arkus sekans a arkus kosekans

Arkus kosekans (psáno také jako arkuskosekans) je cyklometrická funkce. Značí se $\mathrm{arccsc}x$.

Definice

Funkce $y=\mathrm{arccsc}x$ je inverzní k funkci $x=\csc y(-\frac{\pi }{2}\le y\le \frac{\pi }{2},y\ne 0)$; je definována pro $x\in (-\mathrm{\infty },-1⟩\cup ⟨1,+\mathrm{\infty })$.

Vlastnosti

Značení:	$y=\mathrm{arccsc}x$ $(\text{resp.}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}x,{\csc }^{-1}x)$
Definiční obor	$(-\mathrm{\infty },-1⟩\cup ⟨1,+\mathrm{\infty })$
Obor hodnot	$⟨-\frac{\pi }{2},0)\cup (0,\frac{\pi }{2}⟩$
Omezenost	Je omezená
Monotonie	Je ryze klesající na intervalu $(-\mathrm{\infty },-1⟩$ Je ryze klesající na intervalu $⟨1,+\mathrm{\infty })$ Není ryze klesající na svém definičním oboru, ale je prostá
Symetrie	Je lichá, není sudá
Periodicita	Není periodická
Limity	$\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\lim }\mathrm{arccsc}x=0$
Inverzní funkce	$x=\csc y$   (kosekans)
Derivace	$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{arccsc}x=-\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$
Integrál	$\int \mathrm{arccsc}x\mathrm{d}x=x\mathrm{arccsc}x+\frac{x}{|x|}\ln |x+\sqrt{x^2-1}|+C$
Taylorova řada	$\mathrm{arccsc}x=x^{-1}+\frac{1}{3}{x}^{-3}+\frac{3}{40}{x}^{-5}+\frac{5}{112}{x}^{-7}+\dots$ v okolí nekonečna
Významné hodnoty	$\begin{array}{ccccccccc}x& -2& -\sqrt{2}& -\frac{2}{\sqrt{3}}& -1& 1& \frac{2}{\sqrt{3}}& \sqrt{2}& 2\\ \mathrm{arccsc}x& -\frac{\pi }{6}& -\frac{\pi }{4}& -\frac{\pi }{3}& -\frac{\pi }{2}& \frac{\pi }{2}& \frac{\pi }{3}& \frac{\pi }{4}& \frac{\pi }{6}\end{array}$

Vzorce

$\begin{array}{ccc}\mathrm{arcsec}x+\mathrm{arccsc}x& =& \frac{\pi }{2}\\ \mathrm{arccsc}x+\mathrm{arccsc}(-x)& =& 0\\ \mathrm{arccsc}x+\mathrm{arccsc}y& =& \mathrm{arccsc}\left(\frac{xy}{x\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}+y\sqrt{1-\frac{1}{y^2}}}\right)\\ \mathrm{arccsc}x-\mathrm{arccsc}y& =& \mathrm{arccsc}\left(\frac{xy}{y\sqrt{1-\frac{1}{y^2}}-x\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}}\right)\end{array}$

$\mathrm{arccsc}x=\arcsin \left(\frac{1}{x}\right)$

$\mathrm{arccsc}x=\underset{x}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\mathrm{d}t}{t\sqrt{t^2-1}},x\ge 1$

$\mathrm{arccsc}x=\frac{\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}}{x-\frac{2x}{3x^2-\frac{2x^2}{5x^2-\frac{12x^2}{7x^2-\frac{12x^2}{9x^2-\dots }}}}},|x|>1$

Graf

Graf funkce arkuskosekans

Odkazy

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat
• BARTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. 3., rev. vyd. Přeložil Zdeněk TICHÝ. Praha: Mladá fronta, 1996. Šablona:ISBN.