Číselná posloupnost

Číselná posloupnost je zobrazení z množiny přirozených čísel do libovolné číselné množiny (například do množiny komplexních nebo reálných čísel).

Nekonečná číselná posloupnost je každá funkce, jejímž definičním oborem je množina N všech přirozených čísel.

Konečná posloupnost je každá funkce, jejíž definiční obor je konečná podmnožina všech přirozených čísel. Pokud je posloupnost konečná, často ji nazýváme uspořádanou n-ticí. Uspořádanou n-tici čísel můžeme chápat jako souřadnice bodu v n-rozměrném prostoru a často ji nazýváme aritmetický vektor.

V matematice se pracuje také s nečíselnými posloupnostmi – například posloupnostmi funkcí.

Zadání posloupnosti

Vzorcem pro n-tý člen

${\left[h_n\right]}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ např. $h_n=-3+(-1{)}^n$ nekonečná posloupnost

${\left[h_n\right]}_{n=1}^5$ např. $h_n={\left[{0,5}^n\right]}_{n=1}^5$ konečná posloupnost

Rekurentně

a) je dán první člen a vzorec k výpočtu členu $a_{n+1}$ pro každé $n$ z množiny N $a_1=4,a_{n+1}=-2a_n$ pro všechna $n$ z množiny N

b) jsou dány první dva členy a vzorec k výpočtu $b_{n+2}$ na základě znalosti $b_n$ a $b_{n+1}$ $b_1=1$, $b_2=-1$, $b_{n+2}=2b_{n+1}-3b_n$ pro všechna $n$ z množiny N

Výčtem svých členů

$h_n=n_1,n_2,n_3,\dots ,n_n$ pro konečnou posloupnost

Vlastnosti posloupností

U číselných posloupností (obecněji u posloupností, jejichž oborem hodnot je uspořádaná množina) lze definovat následující vlastnosti:

• Posloupnost ${\left[a_n\right]}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ je rostoucí, právě když pro všechna $n$ z množiny N je $a_n<a_{n+1}$
• Posloupnost ${\left[a_n\right]}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ je nerostoucí, právě když pro všechna $n$ z množiny N je $a_n\ge a_{n+1}$
• Posloupnost ${\left[a_n\right]}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ je klesající, právě když pro všechna $n$ z množiny N je $a_n>a_{n+1}$
• Posloupnost ${\left[a_n\right]}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ je neklesající, právě když pro všechna $n$ z množiny N je $a_n\le a_{n+1}$

Každá rostoucí posloupnost je neklesající, každá klesající posloupnost je nerostoucí. Je-li posloupnost nerostoucí nebo neklesající, říkáme, že je monotónní, posloupnost, která je rostoucí nebo klesající, je ryze monotónní.

• Posloupnost ${\left[a_n\right]}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ je shora omezená, právě když existuje reálné číslo $h$ takové,že pro všechna $n$ z množiny N je $a_n\le h$.
• Posloupnost ${\left[a_n\right]}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ je zdola omezená, právě když existuje reálné číslo $d$ takové,že pro všechna $n$ z množiny N je $a_n\ge d$.
• Posloupnost se nazývá omezená, právě když je shora omezená a zároveň zdola omezená.

Konečná posloupnost délky $n$ je

• čistě bitonická, pokud existuje takové i, že posloupnost $(a_1,a_i)$ je rostoucí a $(a_i,a_n)$ je klesající
• bitonická, pokud ji lze získat cyklickým posunutím (rotací) z nějaké čistě bitonické posloupnosti

Jestliže se v libovolně malém $\epsilon$-okolí bodu d, tzn. v intervalu $(d-\epsilon ,d+\epsilon )$, nachází nekonečně mnoho členů posloupnosti $(a_n)$, pak bod d nazýváme hromadným bodem posloupnosti $(a_n)$.

Limita

Šablona:Viz též Říkáme, že posloupnost

• konverguje (je to konvergentní posloupnost), má-li konečnou limitu (např. $1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\dots$ konverguje k 0),
• diverguje (je to divergentní posloupnost), má-li nekonečnou limitu (např. $1,2,3,\dots$ diverguje k $\mathrm{\infty }$), nebo nemá limitu, ale osciluje (např. $1,-1,1,-1,\dots$).

Ze spojitosti uspořádání reálných čísel (věta o supremu a infimu) plyne, že monotónní reálná posloupnost musí mít limitu.

Vybraná posloupnost

Je-li $(a_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ posloupnost (obecně reálných) čísel a $(k_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ rostoucí posloupnost přirozených čísel, pak výraz $(a_{k_n}{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ nazýváme posloupnost vybraná (též podposloupnost) z $a_n$ (jinými slovy, z $a_n$ vybereme některé členy, např. všechny liché).

Platí důležitá Bolzano-Weierstrassova věta: Z každé omezené posloupnosti reálných čísel lze vybrat konvergentní posloupnost. Tato věta je založena na axiomu výběru a proto v některých logických systémech (např. intuicionistická logika) neplatí.

Odkazy

Související články

• Posloupnost
• Řada (matematika)
• Aritmetická posloupnost
• Geometrická posloupnost
• Cauchyovská posloupnost
• Fareyova posloupnost
• Fibonacciho posloupnost
• Nekonečný součin

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat