Zobecněná Stokesova věta

Zobecněná Stokesova věta je v diferenciální geometrii tvrzení o integraci diferenciálních forem, které zobecňuje a zahrnuje několik vět. Je pojmenovaná po Georgi Gabrielu Stokesovi, ačkoliv poprvé tuto větu pravděpodobně zformuloval William Thomson.

Znění věty

Buď $M$ varieta dimenze $k$ v prostoru dimenze $n$ s okrajem $\partial M$ s kladnou orientací a buď $\omega$ diferenciální forma na $M$ rozměru $k-1$, pak platí:

$\underset{M}{\int }d\omega =\underset{\partial M}{\int }\omega$,

kde $d$ je vnější derivace diferenciální formy, pak:

• pro n=1, k=1 přechází na druhou základní větu integrálního počtu,
• pro n=2, k=2 přechází na Greenovu větu,
• pro n=3, k=1 přechází na větu o potenciálu křivkového integrálu 2. druhu,
• pro n=3, k=2 přechází na Stokesovu větu,
• pro n=3, k=3 přechází na Gaussovu větu.

Odvození Gaussovy věty

Uvažuje se Gaussova věta ve trojrozměrném euklidovském prostoru. Množinou M tedy budeme v tomto případě rozumět daný objem a ∂M plochu, která jej uzavírá. Vyjdeme z toho, že máme po ploše ∂M integrovat tok vektorového pole:

${\oint }_{\partial M}𝐀\cdot \mathrm{d}𝐒=\underset{\partial M}{\int }{A}_x(x,y,z)\mathrm{d}y\wedge \mathrm{d}z+A_y(x,y,z)\mathrm{d}z\wedge \mathrm{d}x+A_z(x,y,z)\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y=$

Forma dS má v kartézských složkách poměrně jednoduchý tvar (dy^dz,dz^dx,dx^dy) - je snadné zjistit, že první složka této formy musí být element plochy, ke kterému je vektor (1,0,0) kolmý. $\wedge$ je vnější součin forem. Pořadí forem dy,dz určujících plochu je libovolné. Zbylé souřadnice se určí cyklickou záměnou, aby nedošlo ke změně orientace diferenciální formy (pokud by za plošku kolmou k (1,0,0) byla zvolena naopak dz^dy, pak pokud ostatní složky budou určeny cyklickou záměnou, výsledek bude stejný). Nyní zderivujme integrovanou formu, v jejích členech jsou vždy derivace podle dvou souřadnic nulové, takže zbývá vždy jedna:

$=\underset{M}{\int }\mathrm{d}(A_x(x,y,z)\mathrm{d}y\wedge \mathrm{d}z+A_y(x,y,z)\mathrm{d}z\wedge \mathrm{d}x+A_z(x,y,z)\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y)=$

$=\underset{M}{\int }\frac{\partial A_x(x,y,z)}{\partial x}\mathrm{d}y\wedge \mathrm{d}z\wedge \mathrm{d}x+\frac{\partial A_y(x,y,z)}{\partial y}\mathrm{d}z\wedge \mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y+\frac{\partial A_z(x,y,z)}{\partial z}\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y\wedge \mathrm{d}z=$

$=\underset{M}{\int }(\frac{\partial A_x(x,y,z)}{\partial x}+\frac{\partial A_y(x,y,z)}{\partial y}+\frac{\partial A_z(x,y,z)}{\partial z})\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y\wedge \mathrm{d}z=$

Jakmile jsou souřadnicové formy ve správném pořadí, tak lze převést integrál formy na běžný integrál přes objem:

$=\underset{M}{\int }\left(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z=\underset{V}{\int }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀)\mathrm{d}V$,

je tedy vidět, že nám vyšla právě Gaussova věta.

Odvození Stokesovy věty

Uvažuje se Stokesova věta ve trojrozměrném euklidovském prostoru. Množinou Σ tedy budeme v tomto případě rozumět danou plochu a ∂Σ křivku, která ji uzavírá, obdobným postupem jako u odvození Gaussovy věty tedy dostaneme:

${\oint }_{\partial \mathrm{\Sigma }}𝐀\cdot \mathrm{d}\mathit{\tau }={\oint }_{\partial \mathrm{\Sigma }}{A}_x(x,y,z)\mathrm{d}x+A_y(x,y,z)\mathrm{d}y+A_z(x,y,z)\mathrm{d}z=$

$=\underset{\mathrm{\Sigma }}{\int }\mathrm{d}(A_x(x,y,z)\mathrm{d}x+A_y(x,y,z)\mathrm{d}y+A_z(x,y,z)\mathrm{d}z)=$

Provede se vnější derivace na jednotlivých formách:

$=\underset{\mathrm{\Sigma }}{\int }(\frac{\partial A_x(x,y,z)}{\partial y}\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y+\frac{\partial A_x(x,y,z)}{\partial z}\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}z+\frac{\partial A_y(x,y,z)}{\partial x}\mathrm{d}y\wedge \mathrm{d}x+$$+\frac{\partial A_y(x,y,z)}{\partial z}\mathrm{d}y\wedge \mathrm{d}z+\frac{\partial A_z(x,y,z)}{\partial x}\mathrm{d}z\wedge \mathrm{d}x+\frac{\partial A_z(x,y,z)}{\partial y}\mathrm{d}z\wedge \mathrm{d}y)=$

Protože vnější součin je na 1-formách antisymetrický, posbírá se integrál podle jednotlivých 2-forem:

$=\underset{\mathrm{\Sigma }}{\int }(\frac{\partial A_x(x,y,z)}{\partial y}-\frac{\partial A_y(x,y,z)}{\partial x})\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y+$$+(\frac{\partial A_y(x,y,z)}{\partial z}-\frac{\partial A_z(x,y,z)}{\partial y})\mathrm{d}y\wedge \mathrm{d}z+(\frac{\partial A_x(x,y,z)}{\partial z}-\frac{\partial A_z(x,y,z)}{\partial x})\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}z=$

Jsou-li jednotlivé formy ve správném pořadí podle indexů, dostáváme Stokesovu větu:

$=\underset{S}{\int }\left(\mathrm{\nabla }\times 𝐀\right)\cdot \mathrm{d}𝐒$

Související články

• Křivkový integrál
• Plošný integrál
• Stokesova věta
• Greenova věta
• Gaussova věta