Gaussova věta

Šablona:Možná hledáte Gaussova-Ostrogradského věta (Věta o divergenci) je věta diferenciální geometrie, která popisuje vztah mezi plošným integrálem druhého druhu vektorového pole v prostoru přes orientovanou plochu a objemovým integrálem divergence vektorového pole přes regulární oblast. Tato věta je speciálním případem tzv. zobecněné Stokesovy věty. Autorem Gaussovy-Ostrogradského věty je Johann Gauss a dokázal ji Michail Vasiljevič Ostrogradskij.

Znění věty

Oblast Šablona:Mvar ohraničená plochou Šablona:Mvar kladně orientovanou normálami Šablona:Mvar.

Je-li $𝐅(x,y,z)=[F_x(x,y,z),F_y(x,y,z),F_z(x,y,z)]$ vektorové pole se spojitými parciálními derivacemi prvního řádu na omezené regulární oblasti $V$ ohraničené uzavřenou jednoduše souvislou po částech hladkou kladně orientovanou plochou $S$, pak platí:

$\underset{S}{\iint }𝐅\cdot 𝐧\mathrm{d}S=\underset{V}{\iiint }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅)\mathrm{d}V=\underset{V}{\iiint }(\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z})\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z$,

kde $\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅$ je divergence vektorového pole $𝐅$.

Z fyzikálního hlediska vyjadřuje Gaussova věta skutečnost, že tok vektorového pole $𝐅$ uzavřenou plochou je roven objemovému integrálu z divergence pole $𝐅$, neboli velikosti součtu zřídel a propadů pole v oblasti plochou uzavřenou.

Související články

• Fubiniova věta

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat