Diferenciální forma

Diferenciální forma stupně k neboli diferenciální k-forma je matematické zobecnění totálního diferenciálu na hladké varietě. Formálně jde o funkci s hodnotami ve vnější tenzorové mocnině kotečného prostoru. Ekvivalentně, diferenciální forma je antisymetrická multilineární funkce, která k vektorovým polím přiřadí skalár.

Neformálně je diferenciální $k$-forma objekt, který se dá integrovat přes k-rozměrné podvariety, je to výraz vystupující za symbolem integrálu.

Někdy se pod pojmem diferenciální forma rozumí lineární diferenciální forma (1. stupně, 1-forma, Pfaffova forma), které jsou zobecněním totálního diferenciálu a mají důležité uplatnění např. v termodynamice. V souřadnicích $\{x_i\}$ se dá lokálně vyjádřit jako

$a_1(x)d{x}_1+\dots +a_n(x)d{x}_n$.

Příklad

Příkladem diferenciální formy je totální diferenciál funkce $f:{ℝ}^n\to ℝ$, tj.:

$df=\sum _{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}d{x}_i$, kde parciální derivace funkce $f$ v bodě $𝐱\in {ℝ}^n$ tvoří vektorové pole $\frac{\partial f}{\partial 𝐱}:{ℝ}^n\to {ℝ}^n$ .

Definice

$M$ je hladká varieta. Zobrazení $\alpha :M\to {\bigwedge }^i{T}^{*}M$ nazveme vnější diferenciální $k$-formou, pokud $\alpha$ je hladké zobrazení a $\alpha (m)\in {\bigwedge }^k{T}_m^{*}M$, kde ${\bigwedge }^k{T}_m^{*}M$ je tzv. vnější mocnina vektorového prostoru $T_m^{*}M$. Často označujeme $\alpha (m)$ symbolem ${\alpha }_m$.

Prostor vnějších diferenciálních $k$-forem označujeme symbolem ${\mathrm{\Omega }}^k(M)$.

Jsou-li $(U,\varphi =(x^1,\dots ,x^n))$ souřadnice z atlasu na $M$, potom ${\alpha }_{|U}=\sum _I{\alpha }_{I}d{x}^I,$ kde $I\subseteq \{1,\dots ,n\}$ je multindex délky $|I|=k,{\alpha }_I\in {𝒞}^{\mathrm{\infty }}(M)$ a $d{x}^I=d{x}^{i_1}\wedge \dots \wedge d{x}^{i_k},$ $i_j=1,\dots ,n$.

De Rhamův komplex

Prostor diferenciálních forem stupně k na varietě M dimenze n se značí ${\mathrm{\Omega }}^k(M)$, prostor všech diferenciálních forem $\mathrm{\Omega }(M)$. Na prostoru k-forem je dán De Rhamův diferenciál $d:{\mathrm{\Omega }}^k(M)\to {\mathrm{\Omega }}^{k+1}(M)$. Posloupnost $0\to {\mathrm{\Omega }}^0(M)\to \dots \to {\mathrm{\Omega }}^n(M)\to 0$ se nazývá De Rhamův komplex a jeho kohomologie jsou izomorfní singulárním kohomologiím s hodnotami v $ℝ$.