De Rhamův diferenciál

DeRhamův diferenciál je pojem z matematiky, přesněji z pomezí diferenciální geometrie, globální analýzy na varietách a algebraické topologie. Je základním pojmem diferenciální geometrie.

Definice

Nechť $M$ je diferencovatelná varieta dimenze $n$ a ${\mathrm{\Omega }}^{\bullet }(M)$ je vektorový prostor vnějších diferenciálních forem na $M$. Pak deRhamův diferenciál $d=(d_k{)}_{k=0}^n$ je systém zobrazení $d_k:{\mathrm{\Omega }}^k(M)\to {\mathrm{\Omega }}^{k+1}(M)$ definovaných (induktivně dle stupně formy) následovně.

Nechť $\alpha \in \mathrm{\Omega }(M)$ a $(\varphi =(x^1,\dots ,x^n),U)$ jsou nějaké souřadnice z atlasu $M$. Pak pro každý multiindex $I$ existují hladké funkce ${\alpha }_I$, že $\alpha =\sum _{|I|=k}{\alpha }_{I}d{x}^I$ na U, kde $d{x}^I=d{x}^{i_1}\wedge \dots \wedge d{x}^{i_k}$ a $I=(i_1,\dots ,i_k)$ a $i_1,\dots i_k\in \{1,\dots ,n\}.$ DeRhamův diferenciál $d\alpha$ formy $\alpha$ je dán předpisem $d\alpha =\sum _{|I|=k}d{\alpha }_I\wedge d{x}^I,$ kde $d{\alpha }_I$ je deRhamův diferenciál funkce (0-formy) ${\alpha }_I$. Tento je definován přepisem $df=\sum _{i=0}^n\frac{\partial f}{\partial x^i}d{x}^i$.

Vlastnosti

$d^2=0$ nebo obšírněji $d_{k+1}{d}_k=0$ (diferenciál).

$d(\alpha +r\beta )=d\alpha +rd\beta ,r\in ℝ$ (linearita nad $ℝ$)

$d(\alpha \wedge \beta )=d\alpha \wedge \beta +(-1{)}^{\text{deg }\alpha }\alpha \wedge d\beta$ (Leibnizovo pravidlo)

Poznámka

Diferenciální formu $\alpha$nazveme uzavřenou, pokud $d\alpha =0$. Diferenciální formu $\alpha$nazveme exaktní, pokud existuje diferenciální forma $\beta$, že $d\beta =\alpha$.

Kohomologie komplexu (tzv. de Rhamova komplexu) $0\to {\mathrm{\Omega }}^1(M){\to }^d\dots {\to }^d{\mathrm{\Omega }}^{n-1}(M){\to }^d{\mathrm{\Omega }}^n(M)\to 0$ se nazývají deRhamovy (kohomologické) grupy. Zajímavé tvrzení je, že tyto nezávisí na diferencovatelné struktuře hladké variety, byť d je pomocí ní definován. Platí dokonce, že v případě simpliciálních variet jsou deRhamovy grupy dané variety izomorfní simpliciálním kohomologickým grupám definovaným kombinatoricky v rámci algebraické topologie.

Literatura

[1] Kowalski, O., Základy matematické analýzy na varietách. Univerzita Karlova, 1975.

[2] Krump, L., Souček, V., Těšínský, J., Matematická analýza na varietách. Karolinum, Praha 1998.

[3] Spivak, M., A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, Vol. 1, 3rd Edition, Publish or Perish.

[4] Kobayashi, S., Nomizu, K., Foundations of Differential Geometry, Volume 1, Wiley and Sons.

[5] Kolář, I., Úvod do globální analýzy, Masarykova Univerzita, 2003.

[6] Frankel, T., The Geometry of Physics: An Introduction, Cambridge.