Einsteinova konvence

Einsteinova notace nebo Einsteinova sumační konvence je zjednodušený zápis součtu spočívající v tom, že za určitých okolností je možné vynechat znak sumy a psát jenom sčítané členy. Používá se především v tenzorovém počtu a aplikacích lineární algebry ve fyzice, zejména tam, kde ve vzorcích vystupují souřadnice.

Podle této konvence, jestliže se indexová proměnná v jednom členu objevuje v horní i dolní pozici, znamená to součet přes všechny možné hodnoty indexu. V typických aplikacích se jedná o hodnoty 1, 2, 3 (pro výpočty v Euklidovském prostoru), nebo 0, 1, 2, 3 nebo 1, 2, 3, 4 (pro výpočty v Minkowského prostoru), ale může se jednat o jakýkoliv rozsah, dokonce v některých aplikacích se může jednat o nekonečnou množinu.

V obecné relativitě se řecká abeceda a latinka používají k rozlišení, zda se sčítá přes 1, 2, 3 nebo 0, 1, 2, 3 (obvykle se latinka i, j, … používá pro 1, 2, 3 a řecká abeceda μ, ν, … pro 0, 1, 2, 3). V praxi tomu ale může být i obráceně.

Někdy (jako v obecné relativitě) se požaduje, aby se index jednou vyskytoval jako horní index a jednou jako dolní, v jiných aplikacích se používají jen dolní indexy, např. v tenzorovém počtu nebo v duálním vektorovém prostoru.

Úvod

V mechanice a inženýrství se často vektor v 3D prostoru popisuje pomocí ortogonálních jednotkových vektorů i, j a k.

𝐮 = u_{x} 𝐢 + u_{y} 𝐣 + u_{z} 𝐤

Jestliže bázové vektory i, j, a k vyjádříme (přejmenujeme) jako e₁, e₂, a e₃, lze vektor vyjádřit pomocí sumace:

𝐮 = u_{1} 𝐞_{1} + u_{2} 𝐞_{2} + u_{3} 𝐞_{3} = \sum_{i = 1}^{3} u_{i} 𝐞_{i}

V Einsteinově notaci, pokud se nějaký index v rovnici opakuje dvakrát, implikuje to sumaci, a sumační symbol je možné vynechat.

Tato notace umožňuje zestručnit algebraickou reprezentaci vektorových a tenzorových rovnic. Například

𝐮 \cdot 𝐯 = \sum_{i = 1}^{3} u_{i} 𝐞_{i} \cdot \sum_{j = 1}^{3} v_{j} 𝐞_{j} = u_{i} 𝐞_{i} \cdot v_{j} 𝐞_{j}

nebo ekvivalentně:

𝐮 \cdot 𝐯 = \sum_{i = 1}^{3} \sum_{j = 1}^{3} u_{i} v_{j} (𝐞_{i} \cdot 𝐞_{j}) = u_{i} v_{j} (𝐞_{i} \cdot 𝐞_{j})

kde

𝐞_{i} \cdot 𝐞_{j} = δ_{i j}

a $δ_{i j}$ je Kroneckerovo delta, které je rovno 1 když i = j, a 0 jindy. Logicky vyplývá, že jedno j v rovnici může být převedeno na i, nebo jedno i může být převedeno na j. Pak

𝐮 \cdot 𝐯 = u_{i} v_{j} δ_{i j} = u_{i} v_{i} = u_{j} v_{j}

Pro vektorový součin,

𝐮 \times 𝐯 = \sum_{j = 1}^{3} u_{j} 𝐞_{j} \times \sum_{k = 1}^{3} v_{k} 𝐞_{k} = u_{j} 𝐞_{j} \times v_{k} 𝐞_{k} = u_{j} v_{k} (𝐞_{j} \times 𝐞_{k}) = ε_{i j k} 𝐞_{i} u_{j} v_{k}

kde $𝐞_{j} \times 𝐞_{k} = ε_{i j k} 𝐞_{i}$ a $ε_{i j k}$ Levi-Civitův symbol definovaný takto:

ε_{i j k} = {\begin{matrix} + 1 & pokud (i, j, k) je (1, 2, 3), (2, 3, 1) nebo (3, 1, 2) \\ - 1 & pokud (i, j, k) je (3, 2, 1), (1, 3, 2) nebo (2, 1, 3) \\ 0 & jinak: i = j nebo j = k nebo k = i \end{matrix}

což nahrazuje

𝐮 \times 𝐯 = (u_{2} v_{3} - u_{3} v_{2}) 𝐞_{1} + (u_{3} v_{1} - u_{1} v_{3}) 𝐞_{2} + (u_{1} v_{2} - u_{2} v_{1}) 𝐞_{3}

z

𝐮 \times 𝐯 = ε_{i j k} 𝐞_{i} u_{j} v_{k} = \sum_{i = 1}^{3} \sum_{j = 1}^{3} \sum_{k = 1}^{3} ε_{i j k} 𝐞_{i} u_{j} v_{k}

.

Pokud označíme $𝐰 = 𝐮 \times 𝐯$ , pak můžeme psát $𝐰 = ε_{i j k} 𝐞_{i} u_{j} v_{k}$ a též pro jednotlivé složky $w_{i} = ε_{i j k} u_{j} v_{k}$ . V posledním zápisu se index i objevuje pouze jednou na obou stranách rovnice, a proto se v tomto případě nejedná o součet, ale spíše o systém rovnic:

\begin{matrix} w_{1} = ε_{1 j k} u_{j} v_{k} \\ w_{2} = ε_{2 j k} u_{j} v_{k} \\ w_{3} = ε_{3 j k} u_{j} v_{k} \end{matrix}

Alternativně lze vektorový součin vyjádřit jako

𝐮 \times 𝐯 = 𝐮 \cdot ε \cdot 𝐯

kde $ε$ je tenzorový zápis Levi-Civitova symbolu. Tota notace ale nepochází od Einsteina.

Abstraktní definice

Uvažujme vektorový prostor V s konečnou dimenzí n a určitou bázi V. Bázové vektory můžeme psát jako e₁, e₂, …, e_n. Pak jestliže v je vektor v prostoru V, má vzhledem k bázi souřadnice v₁, …, v_n.

Základní pravidlo:

v = v_i e_i.

V tomto příkladu se předpokládalo, že výraz na pravé straně byl sečten přes i s hodnotami 1 až n, protože index i se neobjevuje na obou stranách výrazu. (Nebo, použijeme-li Einsteinovu konvenci, protože se index i objevil dvakrát.)

Index i se také označuje jako nepravý index protože výsledek na něm nezávisí; tudíž můžeme také například psát :

v = v_j e_j.

Index, přes který se nesčítá, je volný index a může se vyskytnout v každém členu rovnice nebo výrazu.

Tam, kde se index musí objevit jednou jako dolní index a jednou jako horní index, si základní vektor e_i ponechá dolní index, ale souřadnice budou vⁱ s horním indexem. Pak základní pravidlo je:

v = vⁱ e_i.

Hodnota Einsteinovy konvence je také v tom, že se aplikuje k dalším vektorovým prostorům vystavěných z V použitím tenzorového součinu a duality. Například $V \otimes V$ , tenzorový součin V se sebou samým, má bázi skládající se z tenzorů tvaru $𝐞_{i j} = 𝐞_{i} \otimes 𝐞_{j}$ . Libovolný tenzor T v $V \otimes V$ lze psát jako:

𝐓 = T^{i j} 𝐞_{i j}

.

V*, duální prostor k V, má bázi e¹, e², …, eⁿ která splňuje pravidlo

𝐞^{i} (𝐞_{j}) = δ_{i}^{j}

.

Zde δ je Kroneckerovo delta, tak $δ_{i}^{j}$ je 1 jestliže i =j a 0 v ostatních případech.

Příklady

Einsteinova sumace se stane jasnější s pomocí několika jednoduchých příkladů. Uvažujme čtyřrozměrný časoprostor, s indexy od 0 do 3 :

a^{μ} b_{μ} = a^{0} b_{0} + a^{1} b_{1} + a^{2} b_{2} + a^{3} b_{3}

a^{μ ν} b_{μ} = a^{0 ν} b_{0} + a^{1 ν} b_{1} + a^{2 ν} b_{2} + a^{3 ν} b_{3} .

Výše uvedený příklad je jedno ze zúžení, obecné tenzorové operace. Tenzor $a^{μ ν} b_{α}$ přejde do nového tenzoru sumací přes první horní a dolní index. Typicky je výsledný tenzor přejmenován pomocí odstranění zužovacích indexů :

$s^{ν} = a^{μ ν} b_{μ} .$

Podobný příklad - uvažujme skalární součin dvou vektorů a a b. Skalární součin je definován jednoduše jako suma přes indexy a a b:

$𝐚 \cdot 𝐛 = a_{α} b^{α} = a^{0} b_{0} + a^{1} b_{1} + a^{2} b_{2} + a^{3} b_{3},$ Šablona:Autoritní data

Einsteinova konvence

Úvod

Abstraktní definice

Příklady

Navigační menu

Hledat