Matice zkosení

Matice zkosení (Šablona:Vjazyce2) je v lineární algebře elementární matice, která reprezentuje přičtení násobku jednoho řádku nebo sloupce k jinému. Takovou matici můžeme dostat z jednotkové matice nahrazením jednoho nulového prvku nenulovou hodnotou.

Definice

Matice zkosení má podobu:

${𝑳}_{ij}(\lambda )=\left(\begin{array}{ccccccc}1& & & & & & \\ & \ddots & & & & & \\ & & 1& & \lambda & & \\ & & & \ddots & & & \\ & & & & 1& & \\ & & & & & \ddots & \\ & & & & & & 1\end{array}\right)$

Formálně pro dvojici různých indexů $i\ne j$ a parametr $\lambda$:

$({𝑳}_{i,j}(\lambda ){)}_{k,l}=\{\begin{array}{cc}\lambda & \text{pro }(k,l)=(i,j),\\ 1& \text{pro }k=l,\\ 0& \text{jinak}.\end{array}$

Ukázka v ${ℝ}^2$

Zkosení rovnoběžné s osou $x$ vede k $x^{\prime }=x+\lambda y$ a $y^{\prime }=y$. V maticovém tvaru:

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& \lambda \\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right).$

Podobně zkosení rovnoběžné s osou $y$ má $x^{\prime }=x$ a $y^{\prime }=y+\lambda x$. V maticovém tvaru:

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ \lambda & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right).$

Vlastnosti

Je-li $𝑳$ je matice zkosení řádu $n$, pak má následující vlastnosti:

• $𝑳$ je asymetrická, neboli není symetrická,
• z $𝑳$ lze vytvořit blokovou matici záměnou vhodné dvojice sloupců a vhodné dvojice řádků,
• $𝑳$ má hodnost $n$, a proto je regulární.
• inverzní matice je $({𝑳}_{ij}(\lambda ){)}^{-1}={𝑳}_{ij}(-\lambda )$, reprezentující transformaci zkosení opačným směrem,
• pro celočíselné, tedy i nekladné mocniny platí $({𝑳}_{ij}(\lambda ){)}^n={𝑳}_{ij}(n\lambda )$,
• $𝑳$ je trojúhelníková s 1 na diagonále a proto má její determinant hodnotu $\det 𝑳=1$,
• obsah, objem nebo objemy polytopů jakéhokoli vyššího řádu se při zkosení vrcholů polytopu nemění,
• pro stopu platí $\mathrm{tr}𝑳=n$,
• 1 je jediné vlastní číslo matice $𝑳$,
• geometrická násobnost vlastního čísla 1 neboli dimenze prostoru vlastních vektorů matice $𝑳$ je $n-1$,
• $𝑳$ je defektní.

Skládání v rovině

Pro skládání dvou nebo více zkosení v rovině platí vztah:

Jsou-li $\left(\begin{array}{cc}1& \lambda \\ 0& 1\end{array}\right)$ a $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ \mu & 1\end{array}\right)$ dvě matice zkosení, pak matice složené transformace je:

$\left(\begin{array}{cc}1& \lambda \\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ \mu & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1+\lambda \mu & \lambda \\ \mu & 1\end{array}\right)$.

Determinant výsledné matice je 1, takže se obsah či objem zachová i při složené transformaci (platí obecně i ve vyšších dimenzích).

Volba $\lambda =\mu$ dává pozitivně definitní matici $\left(\begin{array}{cc}1+{\lambda }^2& \lambda \\ \lambda & 1\end{array}\right)$.

Aplikace

• Matice zkosení se často používají v počítačové grafice.

Odkazy

Literatura

• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace elektronické monografie

Související články

• Elementární matice
• Transformační matice