Schurův rozklad

Schurův rozklad je rozklad čtvercové matice $A\in {ℂ}^{n\times n}$ ve tvaru $A=QR{Q}^{*}$, kde $Q$ je unitární matice a $R$ je horní trojúhelníková matice, která má na diagonále vlastní čísla matice $A$. V numerické lineární algebře se tento rozklad velmi často využívá, a to především k výpočtu vlastních čísel matice.

Schurův rozklad normální matice

Je-li navíc matice $A$ normální, tj. $A{A}^{*}=A^{*}A$ (speciálně je-li matice $A$ symetrická, hermitovská, antisymetrická, antihermitovská, ortogonální, nebo unitární), pak

$\begin{array}{cc}(QR{Q}^{*})(QR{Q}^{*}{)}^{*}& =(QR{Q}^{*}{)}^{*}(QR{Q}^{*}),\\ (QR{Q}^{*})(Q{R}^{*}{Q}^{*})& =(Q{R}^{*}{Q}^{*})(QR{Q}^{*}),\\ QR{R}^{*}{Q}^{*}& =Q{R}^{*}R{Q}^{*},\\ R{R}^{*}& =R^{*}R,\end{array}$

je také matice $R$ normální. Porovnáním (diagonálních) prvků matic $R{R}^{*}$ a $R^{*}R$ zjistíme, že matice $R$ je diagonální.

Porovnáním prvních prvků prvního řádku rovnosti

$[R{R}^{*}{]}_{1,1}=|r_{1,1}{|}^2+\sum _{j=2}^n|r_{1,j}{|}^2=|r_{1,1}{|}^2=[R^{*}R{]}_{1,1},$

dostaneme $r_{1,j}=0$, $j=2,\dots ,n$. Analogicky postupujeme dále.

Schurova věta

Pro libovolnou matici $A\in {ℂ}^{n\times n}$ existuje unitární matice $Q$ tak, že $R=Q^{*}AQ$ je horní trojúhelníková matice s vlastními čísly matice $A$ na diagonále v libovoném předepsaném pořadí. Je-li navíc matice $A$ normální, je matice $R$ diagonální.

Výpočet

K výpočtu Schurova rozkladu se využívá QR algoritmu, který je založen na QR rozkladu. Avšak pro matici řádu většího nebo rovno 5 nelze obecně spočíst tento rozklad v konečném počtu kroků.