Kanonická hybnost

Kanonická hybnost (někdy též zobecněná hybnost) je základní fyzikální veličina v rámci Hamiltonovy mechaniky a zobecňuje zde roli rychlosti. Kanonická hybnost společně se zobecněnými souřadnicemi parametrizuje fázový prostor. Kanonická hybnost se vyskytuje například v Hamiltonových rovnicích a v definici Poissonovy závorky.

Definice a význam

Kanonická hybnost $p_j$ je definována jako parciální derivace Lagrangeovy funkce $L$ vůči j-té zobecněné rychlosti ${\dot{q}}^j$.

$p_j\equiv \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}^j}$

Přímo z definice vyplývá, že $p_j$ je kovektorŠablona:Poznámka. Kanonické hybnosti jsou navzájem nezávislé a nezávisí explicitně ani na žádných souřadnicích $q^i$. Tuto jejich nezávislost můžeme zapsat následovně.

$\frac{\partial p_i}{\partial p_j}={\delta }_i^j,\frac{\partial p_j}{\partial q^i}=0,\frac{\partial q^i}{\partial p_j}=0\mathrm{\forall }i,j$

Ve fyzikálním systému s n stupni volnosti je tak každý bod ve fázovém prostoru popsán právě 2n parametry a to $(q^1,\dots ,q^n,p_1,\dots ,p_n)$Šablona:Poznámka. Pár souřadnice a příslušné hybnosti $(q^j,p_j)$ nazýváme pro každý index $j$ dvojicí kanonicky sdružených proměnných.

Geometrická interpretace

V Lagrangeově mechanice se zobecněné rychlosti ${\dot{q}}^j$ popisují jako vektory ležící v tečném prostoru ke konfiguračnímu prostoru. Naproti tomu v Hamiltonově mechanice přebírají kanonické hybnosti roli zobecněných rychlostí. Kanonické hybnosti jsou kovektory a leží v takzvaném kotečném prostoru konfiguračního prostoru. Kotečný prostor je duální vektorový prostor k tečnému prostoru (oba prostory jsou tečné ke konfiguračnímu prostoru ve stejném bodě). Dualita mezi Lagrangeovou a Hamiltonovou mechanikou tak tkví v dualitě vektorů a kovektorů. Stejně jako tečné prostory společně tvoří tečný bandl, kotečné prostory tvoří tzv. kotečný bandl.

Vlastnosti

Mějme Lagrangeovu funkci, která nezávisí na zobecněné souřadnici $q^j$ (v konzervativním systému). Z pohybových rovnic pak vyplývá, že se v čase zachovává kanonická hybnost, kterou v tomto kontextu nazýváme zobecněná hybnost. Pohybová rovnice pro j-tou souřadnici $q^j$ se zde zjednoduší, protože druhý člen je díky nezávislosti $L$ na $q^j$ nulový.

$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}^j}\right)-\frac{\partial L}{\partial q^j}=0⟹\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}^j}\right)=0⟹p_j\equiv \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}^j}=C$

Například pro klasický fyzikální systém pouze s jedním volným hmotným bodem má Lagrangián tvar

$L=\frac{1}{2}m\sum _i{\left({\dot{q}}^i\right)}^2$.

Pokud explicitně spočítáme parciální derivaci z $L$ uvedeného výše, zobecněná hybnost je pak rovna $m{\dot{q}}^j$Šablona:Poznámka, což odpovídá newtonovské hybnosti ve známém tvaru hmotnost krát rychlost. V tomto speciálním případě se klasická newtonovská hybnost rovná zobecněné hybnosti a zachovává se.

Za výše uvedených předpokladů se zobecněná hybnost zachovává, ale obecně nemusí být rovna newtonovské hybnosti. Například pro nabitou částici v magnetickém poli dostaneme výraz $p_j=m{\dot{q}}^j+e{A}^j$Šablona:Poznámka, kde $e$ je náboj částice a $A$ je vektorový potenciál elektromagnetického pole. Pokud pokud je zde vektorový potenciál nezávislý na souřadnici $q^j$, pak se zobecněná hybnost v čase zachovává, ale naproti tomu newtonovská hybnost nemusí.

Odkazy

Literatura

• Šablona:Citace monografie

Související články

• zobecněné souřadnice
• fázový prostor
• integrál pohybu
• Hamiltonova funkce

Externí odkazy

• [1] – hlavní stránka Ústavu teoretické fyziky MFF UK