Přechodový jev (elektrický obvod)

Přechodový jev je fyzikální děj probíhající v čase mezi dvěma ustálenými stavy. V ustáleném stavu se energie soustavy nemění (popř. se mění periodicky), během přechodového děje dochází k jejím změnám.

Vznik jevu je podmíněn změnami energie v akumulačních prvcích obvodu (kondenzátory a cívky). Tyto změny nemohou proběhnout okamžitě, protože by vyžadovaly zdroj nekonečné energie. Charakter jevu závisí na druhu zapojených akumulačních prvků. Obsahuje-li obvod pouze jeden akumulační prvek obvodu (tj. kromě rezistoru pouze kondenzátor nebo pouze cívku), nemůže dojít k vratné výměně energie a děj probíhá aperiodicky. Pokud však obvod obsahuje oba akumulační prvky, dochází k periodické výměně energie mezi prvky - rezonance. Tyto obvody pak nazýváme oscilátory.

Průběh náběhového (připojení zdroje) resp. doběhového (odpojení zdroje) proudu v RL resp. RC obvodu.

Přechodové jevy prvního řádu

RL obvod

RL obvod

RL obvod je tvořen zdrojem stejnosměrného elektrického napětí a sériovým zapojením ideálního rezistoru a ideální cívky. Po připojení ke zdroji začne obvodem procházet elektrický proud, který na cívce vytvoří magnetické pole, které se bude zvětšovat a na cívce se začne indukovat napětí. Napětí na cívce je zpočátku stejně velké jako napětí zdroje, zatímco napětí na rezistoru je rovno nule. Postupně se však bude napětí na cívce snižovat a na rezistoru zvyšovat až bude obvodem protékat ustálený proud jako řešení rovnice (2.Kirchhoffův zákon):

$L\frac{di(t)}{dt}+Ri(t)=U_0$ tj. $i(t)=\frac{U_0}{R}(1-e^{-\frac{t}{\tau }})$ tj. $i(0)=0$ tj. $i(\mathrm{\infty })=\frac{U_0}{R}$

a po odpojení zdroje napětí se začne energie magnetického pole cívky měnit v rezistoru na energii tepelnou:

$L\frac{di(t)}{dt}+Ri(t)=0$ tj. $i(t)=\frac{U_0}{R}{e}^{-\frac{t}{\tau }}$ tj. $i(0)=\frac{U_0}{R}$ tj. $i(\mathrm{\infty })=0$,

časová konstanta je $\tau =\frac{L}{R}$.

RL obvod (střídavý)

RL obvod (střídavý)

RL obvod je tvořen zdrojem střídavého elektrického napětí a sériovým zapojením ideálního rezistoru a ideální cívky a je modelován rovnicí (2.Kirchhoffův zákon):

$L\frac{di(t)}{dt}+Ri(t)=U_0\sin \omega t$ tj. $i(t)=\frac{U_0}{Z}(e^{-\frac{t}{\tau }}-\cos \omega t)$ tj. $i(0)=0$ tj. $i(\mathrm{\infty })=\frac{U_0}{Z}\sin (\omega t-\frac{\pi }{2})$

kde $Z^2=R^2+(\omega L{)}^2$ a $\omega$ představuje úhlovou frekvenci střídavé třífázové sítě ($\tau$ viz výše). Uvedené řešení diferenciální rovnice je východiskem výpočtů zkratových poměrů v třífázových elektrizačních soustavách, viz norma ČSN EN 60909-0 ED.2 (333022).

RC obvod

RC obvod

Postupné nabíjení resp. vybíjení kondenzátoru napětím $U_C$ po připojení resp. odpojení zdroje.

RC obvod je tvořen zdrojem stejnosměrného elektrického napětí a sériovým zapojením ideálního rezistoru a ideálního kondenzátoru. Po připojení ke zdroji začne obvodem procházet elektrický proud, který na kondenzátoru vytvoří elektrické pole, které se bude zvětšovat a kondenzátor se začne nabíjet (bude v něm vzrůstat nahromaděný náboj). Napětí na rezistoru je zpočátku stejně velké jako napětí zdroje, zatímco napětí na kondenzátoru je rovno nule. Postupně se však bude napětí na rezistoru snižovat a na kondenzátoru zvyšovat až bude obvodem protékat ustálený proud jako řešení rovnice (2.Kirchhoffův zákon):

$Ri(t)+\frac{1}{C}\underset{0}{\overset{t}{\int }}i(T)dT=U_0$.

Tuto rovnici je nutné derivovat podle času t, dostáváme rovnici prvního řádu:

$R\frac{di(t)}{dt}+\frac{1}{C}i(t)=0$ tj. $i(t)=\frac{U_0}{R}{e}^{-\frac{t}{\tau }}$ tj. $i(0)=\frac{U_0}{R}$ tj. $i(\mathrm{\infty })=0$

a po odpojení zdroje napětí se začne energie elektrického pole kondenzátoru měnit v rezistoru na energii tepelnou:

$R\frac{di(t)}{dt}+\frac{1}{C}i(t)=0$ tj. $i(t)=-\frac{U_0}{R}{e}^{-\frac{t}{\tau }}$ tj. $i(0)=-\frac{U_0}{R}$ tj. $i(\mathrm{\infty })=0$,

kde časová konstanta je $\tau =RC$, tj. za čas $t=\tau$ se kondenzátor nabije zhruba na dvě třetiny své kapacity a za čas $t=3\tau$ se kondenzátor nabije na 95% své kapacity, kondenzátor pak lze považovat za nabitý. Vybíjení kondenzátoru probíhá reverzně k nabíjení.

Lineární pasivní elektrický RC obvod měnící signál v závislosti na kmitočtu se užívá jako frekvenční filtr, např. horní propust nebo dolní propust.

Přechodové jevy druhého řádu

LC obvod

LC obvod

LC obvod je tvořen zdrojem stejnosměrného elektrického napětí a sériovým zapojením ideální cívky a ideálního kondenzátoru a je modelován rovnicí (2.Kirchhoffův zákon):

$L\frac{di(t)}{dt}+\frac{1}{C}\underset{0}{\overset{t}{\int }}i(\tau )d\tau =U_0$.

Tuto rovnici je nutné derivovat podle času t, dostáváme rovnici druhého řádu:

$L\frac{d^{2}i(t)}{d{t}^2}+\frac{1}{C}i(t)=0$ tj. $i(t)=i(0)\cos {\omega }_{0}t$ - pro $U_0=0$

kde ${\omega }_0=\frac{1}{\surd LC}$ představuje rezonanční úhlovou frekvenci netlumeného kmitání.

RLC obvod

RLC obvod

RLC obvod je tvořen zdrojem stejnosměrného elektrického napětí a sériovým zapojením ideálního rezistoru (odporu), ideální cívky (indukčnosti) a ideálního kondenzátoru (kapacity) a je modelován rovnicí (2.Kirchhoffův zákon):

$L\frac{di(t)}{dt}+Ri(t)+\frac{1}{C}\underset{0}{\overset{t}{\int }}i(\tau )d\tau =U_0$.

Tuto rovnici je nutné derivovat podle času t, dostáváme rovnici druhého řádu:

$L\frac{d^{2}i(t)}{d{t}^2}+R\frac{di(t)}{dt}+\frac{1}{C}i(t)=0$ tj. $i(t)=i(0)e^{-\alpha t}\cos \omega t$ - pro $U_0=0$ a $R\to 0$

a kde $\omega =\sqrt{\frac{1}{LC}-\frac{R^2}{4L^2}}=\sqrt{{\omega }_0^2-{\alpha }^2}$ pro ${\omega }_0^2>{\alpha }^2$ představuje úhlovou frekvenci tlumeného kmitání.

Charakteristická rovnice výše uvedené homogenní diferenciální rovnice je ve tvaru:

${\lambda }^2+\frac{R}{L}\lambda +\frac{1}{LC}=0$ tj. ${\lambda }_{1,2}=-\frac{R}{2L}\pm \sqrt{\frac{R^2}{4L^2}-\frac{1}{LC}}$

a pro diskriminant uvedené kvadratické rovnice platí:

$D>0$ - řešením jsou dva různé reálné kořeny ${\lambda }_1$ a ${\lambda }_2$ a děj je aperiodický

$D=0$ - řešením jsou dva shodné reálné kořeny ${\lambda }_1={\lambda }_2$ a děj je na mezi periodicity

$D<0$ - řešením jsou dva kořeny komplexně sdružené a děj je periodický (viz řešení výše uvedené diferenciální rovnice).

RLC obvod (střídavý)

RLC obvod (střídavý)

RLC obvod je tvořen zdrojem střídavého elektrického napětí a sériovým zapojením ideálního rezistoru, ideální cívky a ideálního kondenzátoru a je modelován rovnicí (2.Kirchhoffův zákon):

$L\frac{di(t)}{dt}+Ri(t)+\frac{1}{C}\underset{0}{\overset{t}{\int }}i(\tau )d\tau =U_0{e}^{j\omega t}$.

Tuto rovnici je nutné derivovat podle času t, dostáváme rovnici druhého řádu:

$L\frac{d^{2}i(t)}{d{t}^2}+R\frac{di(t)}{dt}+\frac{1}{C}i(t)=j\omega U_0{e}^{j\omega t}$

a kde $\omega$ představuje úhlovou frekvenci kmitání střídavého napětí.

Řešení výše uvedené rovnice ve tvaru:

$i(t)=I_0{e}^{j\omega t}$ tj. $\frac{di(t)}{dt}=j\omega I_0{e}^{j\omega t}$ tj. $\frac{d^{2}i(t)}{d{t}^2}=-{\omega }^2{I}_0{e}^{j\omega t}$

dosaďme do výše uvedené rovnice, pak dostaneme:

$(-{\omega }^{2}L{I}_0+j\omega R{I}_0+\frac{1}{C}{I}_0)=j\omega U_0$ tj. $I_0(R+j(\omega L-\frac{1}{\omega C}))=U_0$ tj. $I_{0}Z=U_0$.

Související články

• Rezonanční obvod
• Elektrický obvod
• Elektrický zkrat

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat
• Sériový RLC obvod (anglicky)
• Sériový RLC obvod (anglicky) Šablona:Wayback
• Miloš Křivan: Matematický model elektrické sı́tě