Weierstrassovo kritérium stejnoměrné konvergence

Weierstrassovo kritérium stejnoměrné konvergence je v matematice kritérium pro určování, zda nekonečná řada funkcí konverguje stejnoměrně a absolutně. Používá se na řady, jejichž členy jsou funkce s reálnými nebo komplexními hodnotami, a je analogií srovnávacího kritéria pro určování konvergence řad reálných nebo komplexních čísel.

Tvrzení

Weierstrassovo kritérium stejnoměrné konvergence. Předpokládejme, že {f_n} je posloupnost reálných nebo komplexních funkcí definovaných na množině A a že existuje posloupnost kladných čísel {M_n} taková, že

$\mathrm{\forall }n\ge 1,\mathrm{\forall }x\in A:|f_n(x)|\le M_n,$

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{M}_n<\mathrm{\infty }$

Pak řada

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_n(x)$

konverguje absolutně a stejnoměrně na A.

Poznámka: Výsledek se často používá v kombinaci s limitní větou pro stejnoměrnou konvergenci. Společně říkají, že pokud kromě výše uvedených podmínek je množina A topologickým prostorem a funkce f_n jsou spojité na A, pak řada konverguje ke spojité funkci.

Zobecnění

Obecnější verze Weierstrassova kritéria stejnoměrné konvergence platí, jestliže cílová množina funkcí {f_n} je jakýkoli Banachův prostor, v tomto případě výraz

$|f_n(x)|\le M_n$

může být nahrazen výrazem

$\Vert f_n(x)\Vert \le M_n$,

kde $\Vert \cdot \Vert$ je norma na Banachově prostoru. Pro příklad použití tohoto kritéria na Banachův prostor viz článek Fréchetova derivace.

Důkaz

Uvažujme posloupnost funkcí

$S_n(x)=\sum _{k=1}^n{f}_k(x)$

Protože řada $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{M}_n$ konverguje a Šablona:Math pro každé Šablona:Mvar, pak podle Cauchyova kritéria konvergence

$\mathrm{\forall }\epsilon >0:\mathrm{\exists }N:\mathrm{\forall }n>m>N:\sum _{k=m+1}^n{M}_k<\epsilon .$

Pro zvolené Šablona:Mvar platí

$\mathrm{\forall }x\in A:\mathrm{\forall }n>m>N$

$|S_n(x)-S_m(x)|=|\sum _{k=m+1}^n{f}_k(x)|\stackrel{(1)}{\le }\sum _{k=m+1}^n|f_k(x)|\le \sum _{k=m+1}^n{M}_k<\epsilon .$

Tedy posloupnost částečných součtů řady konverguje stejnoměrně. Z definice proto řada $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_k(x)$ konverguje stejnoměrně.

Pozn: Nerovnost (1) vyplývá z trojúhelníkové nerovnosti.

Odkazy

Související články

• Stejnoměrná konvergence
• Příklad Weierstrassova kritéria stejnoměrné konvergence
• Karl Weierstrass

Literatura

• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace monografie