Věta o střední hodnotě diferenciálního počtu

Šablona:Různé významy Věta o střední hodnotě diferenciálního počtu (také Lagrangeova věta o střední hodnotě, Lagrangeova věta o přírůstku funkce) je matematická věta z oblasti diferenciálního počtu, která říká, že se při „hladké“ změně nějaké veličiny dosahuje v nějakém okamžiku průměrné rychlosti dané změny.

Rolleova věta

Šablona:Viz též Speciálním jednodušším případem Lagrangeovy věty je Rolleova věta, ze které již věta Lagrangeova snadno plyne:

Nechť funkce $f(x)$ je spojitá na intervalu $⟨a,b⟩$, má derivaci v každém bodě intervalu $(a,b)$ a platí $f(a)=f(b)$. Pak existuje bod $c\in (a,b)$ takový, že $f^{\prime }(c)=0$.

Geometrický význam

Geometrické znázornění Rolleovy věty

Rolleova věta říká, že za uvedených předpokladů existuje v intervalu $(a,b)$ bod, v němž je tečna ke grafu funkce $f(x)$ rovnoběžná s osou x.

Fyzikální význam

Fyzikálně lze Rolleovu větu interpretovat takto:

Mění-li se nějaká veličina v čase „hladkým způsobem“ tak, že na začátku i konci tohoto procesu má stejnou velikost, pak v nějakém okamžiku musí být okamžitá rychlost změny nulová.

Lagrangeova věta o střední hodnotě

Lagrangeovu větu lze vyslovit následovně:

Nechť funkce $f(x)$ je spojitá na intervalu $⟨a,b⟩$ a má v každém bodě intervalu $(a,b)$ derivaci. Pak existuje bod $c\in (a,b)$ takový, že platí $f^{\prime }(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$.

Protože je derivace $f^{\prime }(x)$ v bodě směrnice tečny, můžeme tvrdit, že pro $f(x)$ platí:

• $f^{\prime }(c)>0\Rightarrow f(x)$ je v tomto bodě rostoucí
• $f^{\prime }(c)<0\Rightarrow f(x)$ je v tomto bodě klesající

Geometrický význam

Geometrický význam Lagrangeovy věty

Lagrangeova věta tvrdí, že za uvedených předpokladů v intervalu $(a,b)$ existuje bod $c$, v němž je tečna k funkci $f(x)$ rovnoběžná s přímkou vedenou body $(a,f(a))$ a $(b,f(b))$.

Fyzikální význam

Lagrangeovu větu lze fyzikálně interpretovat následovně:

Mění-li se nějaká veličina v čase „hladkým způsobem“, pak v nějakém okamžiku musí být okamžitá rychlost změny rovna průměrné rychlosti.

Zobecnění

Zobecněním Lagrangeovy věty je Cauchyova věta o střední hodnotě:

Nechť funkce $f(x),g(x)$ jsou spojité na intervalu $⟨a,b⟩$, mají v každém bodě $x$ intervalu $(a,b)$ vlastní derivaci a nechť pro všechna $x\in (a,b)$ platí $g^{\prime }(x)\ne 0$. Pak existuje bod $c\in (a,b)$ takový, že platí $\frac{f^{\prime }(c)}{g^{\prime }(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$.

Důkaz

Dokážeme Cauchyovu větu o střední hodnotě, Lagrangeova věta pak plyne z Cauchyovy věty volbou $g(x)=x$. Protože $g^{\prime }(x)\ne 0$ pro všechna $x\in (a,b)$, je podle obměněné implikace Rolleovy věty (důkaz) nutně $g(a)\ne g(b)$ (ostatní předpoklady Rolleovy věty jsou splněny díky předpokladům Cauchyovy věty). Můžeme tak definovat funkci

$F(x)=-f(x)+\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}(g(x)-g(a))$.

Funkce $F$ je zřejmě spojitá na intervalu $⟨a,b⟩$, má derivaci na intervalu $(a,b)$ a $F(a)=F(b)=-f(a)$. $F$ splňuje předpoklady Rolleovy věty a existuje tedy $c\in (a,b)$ takové, že

$0=F^{\prime }(c)=-f^{\prime }(c)+\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}{g}^{\prime }(c)$

Dle předpokladu je $g^{\prime }(c)\ne 0$ a tedy

$\frac{f^{\prime }(c)}{g^{\prime }(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$.

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat