Rolleova věta

Geometrický význam Rolleovy věty.

Rolleova věta (též Rollova věta) je matematická věta diferenciálního počtu. Je pojmenována po francouzském matematikovi Michelu Rolleovi, který větu formuloval v roce 1691.

Věta

Nechť f je spojitá funkce na uzavřeném intervalu $[a,b]$ a nechť pro každý bod x otevřeného intervalu $(a,b)$ existuje derivace $f^{\prime }\left(x\right)$ a nechť $f\left(a\right)=f\left(b\right)$. Pak existuje bod c v otevřeném intervalu $(a,b)$, pro nějž platí

$f^{\prime }\left(c\right)=0$.

Důkaz

Důkaz rozdělíme do dvou částí:

1. Nechť funkce f je konstantní. Potom derivace $f^{\prime }\left(x\right)=0,\mathrm{\forall }x\in (a,b)$ a věta je dokázána.
2. Nechť funkce f není konstantní. Jelikož $f\left(a\right)=f\left(b\right)$ a funkce není konstantní, musí existovat $d\in (a,b)$ takové, že $f\left(d\right)>f\left(a\right)=f\left(b\right)$ nebo $f\left(d\right)<f\left(a\right)=f\left(b\right)$. Předpokládejme, že $f\left(d\right)>f\left(a\right)=f\left(b\right)$.

Využijeme věty tvrdící, že každá funkce spojitá na uzavřeném intervalu $[a,b]$ nabývá na tomto intervalu svého maxima i minima a zabývejme se maximem. Jelikož existuje $d\in (a,b)$ takové, že $f\left(d\right)>f\left(a\right)=f\left(b\right)$, tak maximum nemůže ležet ani v a, ani v b. Leží tedy uvnitř intervalu, v bodě c. Z věty o nutné podmínce lokálního extrému vyplývá, že tedy v bodě c, kde se nalézá lokální extrém funkce, $f^{\prime }\left(c\right)=0$.

Analogické tvrzení platí i pro minimum.

Historie

Rolleovu větu znal už ve dvanáctém století indický matematik Bháskara II. První formální důkaz podal francouzský matematik Michel Rolle v roce 1691. Název Rolleova věta byl poprvé použit v devatenáctém století.

Příklady

Půlkruh s poloměrem r

První příklad

Buď poloměr $r>0$ a mějme funkci

$f(x)=\sqrt{(r^2-x^2)},x\in [-r,r]$.

Jejím grafem je horní půlkruh se středem v počátku. Tato funkce je spojitá na uzavřeném intervalu $[-r,r]$ a má derivaci na otevřeném intervalu $(-r,r)$, ale ne v krajních bodech. Předpoklady Rolleovy věty jsou splněny, protože $f(-r)=f(r)$. A skutečně, bod s nulovou derivací existuje.

Graf funkce absolutní hodnoty

Druhý příklad

Pokud funkce nemá ve všech vnitřních bodech intervalu derivaci, nemusí závěr Rolleovy věty platit. Mějme funkci absolutní hodnoty:

$f(x)=\left|x\right|,x\in [-1,1]$.

Ačkoli $f(-1)=f(1)$, neexistuje žádný bod $c\in (-1,1)$ takový, že $f^{\prime }(c)=0$. Důvodem je právě to, že v bodě $x=0$ neexistuje derivace funkce $f$.

Související články

• Věta o střední hodnotě diferenciálního počtu
• Cauchyova věta o střední hodnotě

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat