Vytvořující funkce (fyzika)

Vytvořující funkce známá také jako generující funkce představuje volnost v určení Lagrangiánu. Taková volnost se nazývá kalibrační volnost. Dva Lagrangiány spojené kalibrační transformací jsou plně fyzikálně rovnocenné a vedou na stejné rovnice pohybu. V rámci Hamiltonovy formulace mechaniky vytvořující funkce zase představuje volnost v určení Hamiltoniánu.

Kalibrační volnost

v Lagrangeově formalismu

Pokud se dva různé Lagrangiány $L,L^{\prime }$ liší o úplnou časovou derivaci libovolné hladká funkce $F$, pak jsou rovnocenné a vedou na stejné rovnice pohybu. Taková libovolná funkce $F$ je generující funkcí. Vztah můžeme vyjádřit jako

$L^{\prime }=L+\frac{dF}{dt}$.

Hladkost funkce $F$ vyžadujeme, aby její derivace existovaly. Obecně se může jednat o funkci všech parametrů konfiguračního prostoru, tedy času a zobecněných souřadnic $q^i$. Tento fakt zapisujeme ve tvaru

$F=F(q^i,t)$.

v Hamiltonově formalismu

Šablona:Podrobně Volnost v Lagrangiánu se přelévá i do volnosti v Hamiltoniánu, protože obě funkce jsou navzájem spojeny Legendreovou transformací. Různé Hamiltoniány $H,H^{\prime }$, které vedou na stejné rovnice pohybu můžeme z fyzikálního hlediska považovat za rovnocenné. Kalibrační volnost lze vyjádřit rovnicí

$H=H^{\prime }+\frac{\partial F_a}{\partial t}.$

Volnost Hamiltonovy funkce pro určitý fyzikální systém přesně odpovídá takzvaným kanonickým transformacím a příslušnou funkci $F_a$ pak nazýváme generující funkcí kanonické transformace.

Kanonické transformace souvisejí se změnou prametrizace fázového prostoru. Staré parametry značme $q^i,p_j$ a nové značme $Q^i,P_j$. Generujícící funkce obecně závisí jak na starých tak i na nových proměnných. Celkem existují 4 různé kombinace a tedy 4 druhy vytvořujících funkcí $F_{a}a=1,\dots ,4$. Vytvořující funkce se standardně značí tak, že závislosti na souřadnicích jsou v následujícím pořadí:

$F_1=F_1(q^i,Q^j,t)$

$F_2=F_2(q^i,P_j,t)$

$F_3=F_3(p_i,Q^j,t)$

$F_4=F_4(p_i,P_j,t)$

Každé kanonické transformaci tak mohou příslušet nejvýše 4 vytvořující funkce. Ne vždy ale existují všechny. V degenerovaných případech jich může být i méně. Například pro triviální transformaci q^i=Q^i,p_j=P_j existují pouze 2 z nich a to $F_2(q^i,P_j,t)$ a $F_3(p_i,Q^j,t)$.

Vytvořující funkce jsou navzájem spojené Legendreovou transformací stejně jako samotný Lagrangián a Hamiltonián. Mezi funkcemi platí vztahy:

$F_2(q^i,P_j,t)=F_1(q^i,Q^j,t)+\sum _k{Q}^k{P}_k$

$F_3(p_i,Q^j,t)=F_1(q^i,Q^j,t)-\sum _k{q}^k{p}_k$

$F_4(p_i,P_j,t)=F_1(q^i,Q^j,t)-\sum _k{q}^k{p}_k+\sum _l{Q}^l{P}_l$

Ne každá funkce může být vytvořující funkcí pro kanonickou transformaci v Hamiltonově formalismu. Nutné a zároveň dostačující podmínky jsou shrnuty v následující tabulce.

podmínky pro vytvořující funkce

druh vytvořující funkce	nutné podmínky
$F_1(q^i,Q^j,t)$	$p_i=\frac{\partial F_1}{\partial q^i}$	$P_j=-\frac{\partial F_1}{\partial Q^j}$
$F_2(q^i,P_j,t)$	$p_i=\frac{\partial F_2}{\partial q^i}$	$Q^j=\frac{\partial F_2}{\partial P_j}$
$F_3(p_i,Q^j,t)$	$q^i=-\frac{\partial F_3}{\partial p_i}$	$P_j=-\frac{\partial F_3}{\partial Q^j}$
$F_4(p_i,P_j,t)$	$q^i=-\frac{\partial F_4}{\partial p_i}$	$Q^j=\frac{\partial F_4}{\partial P_j}$

Důkaz podmínek pro vytvořující funkce

Začněme definicí vytvořující funkce a napišme si oba Lagrangiány jako funkce proměnných ve fázovém prostoru.

$L^{\prime }(q^i,p_i,t)=L(Q^i,P^i,t)+\frac{d{F}_1}{dt}(q^i,Q^i,t)$.

Nyní použijeme definici Hamiltoniánu a zároveň si rozepíšeme úplnou derivaci $F_1$ pomocí řetízkového pravidla.

$\sum _k{\dot{q}}^k{p}_k-H^{\prime }(q^i,p_i,t)=\sum _k{\dot{Q}}^k{P}_k-H(Q^i,P^i,t)+\sum _k(\frac{\partial F_1}{\partial q^k}{\dot{q}}^k+\frac{\partial F_1}{\partial Q^k}{\dot{Q}}^k)+\frac{\partial F_1}{\partial t}(q^i,Q^i,t)$Šablona:Poznámka

Zbývá jen přeskupit členy a dostáváme

$\sum _k((p_k-\frac{\partial F_1}{\partial q^k}){\dot{q}}^k-(P_i+\frac{\partial F_1}{\partial Q^k}){\dot{Q}}^k)+H(Q^i,P^i,t)=H^{\prime }(q^i,p_i,t)+\frac{\partial F_1}{\partial t}(q^i,Q^i,t)$.

Kýženou rovnost získáme pokud je suma na levé straně nulová, což obecně platí když jsou splněny následující rovnosti.

$p_k=\frac{\partial F_1}{\partial q^k}$

$P_k=-\frac{\partial F_1}{\partial Q^k}$

To jsou právě příslušné podmínky v tabulce. Pro ostatní vytvořující funkce $F_2,F_3,F_4$ probíhá důkaz obdobně, jen si je přepíšeme pomocí výše uvedených vztahů pomocí $F_1$.

Odkazy

Literatura

• Šablona:Citace monografie

Související články

• kanonická transformace
• zobecněné souřadnice
• Poissonovy závorky

Externí odkazy

• [1] – hlavní stránka Ústavu teoretické fyziky MFF UK