Torus

Torus v trojrozměrném prostoru

Torus (též anuloid) je rotační plocha, která vznikne otáčením kružnice kolem osy, která leží ve stejné rovině a nemá s ní společné body. Tento tvar má například vzdušnice (duše) pneumatiky nebo nafukovací kruh.

V architektuře označuje torus (česky obloun) oblý kruhový výstupek hlavice sloupu, protikladem je trochilus, výžlabek.

Rovnice

Parametricky lze torus středově souměrný podle počátku a osově podle osy z v kartézských souřadnicích vyjádřit:

$x(u,v)=(R+r\cos v)\cos u$

$y(u,v)=(R+r\cos v)\sin u$

$z(u,v)=r\sin v$

kde

u, v ∈ [0, 2π),

R je vzdálenost středu „trubice“ ke středu toru,

r je poloměr „trubice“.

Obecná rovnice (téhož) toru je (z Pythagorovy věty):

${(R-\sqrt{x^2+y^2})}^2+z^2=r^2$,

neboli

$(x^2+y^2+z^2+R^2-r^2{)}^2-4R^2(x^2+y^2)=0.$.

Torus je tedy algebraická plocha 4. stupně, neboli kvartická plocha.

Stereografická projekce Cliffordova torusu ve čtyřech rozměrech znázorněná jako jednoduchá rotace plochou xz

n-rozměrný torus

Torus lze zobecnit ve více rozměrech jako n-rozměrný torus (n-torus nebo hypertorus). Zatímco torus je prostorový útvar dvou kružnic, je n-rozměrný torus produktem n kružnic.

Vlastnosti

Z Guldinových vět snadno dostáváme:

Povrch toru je určený jako

$S=4{\pi }^{2}Rr=\left(2\pi r\right)\left(2\pi R\right)$

Objem toru je určen vztahem

$V=2{\pi }^{2}R{r}^2=\left(\pi r^2\right)\left(2\pi R\right).$

Průběh everze toru

Zobecnění

Zobecněný torus - toroid

V obecnějším případě lze torus definovat i jako elipsu či jinou kuželosečku rotovanou kolem komplanární osy.

Torus je zvláštním případem toroidu, kde místo kružnice může být obecná uzavřená křivka.

Související články

• Geometrický útvar
• Kružnice
• Toroid

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat