Stirlingův vzorec

Graf Stirlingova vzorce

Stirlingův vzorec (též Stirlingova formule) je nejznámější aproximací faktoriálu pro vysoké hodnoty argumentu. Stejně dobře jde vzorec použít i pro aproximaci gama funkce, která v podstatě představuje zobecnění faktoriálu a to na obor komplexních čísel. Je pojmenován po skotském matematikovi Jamesi Stirlingovi.

Stirlingův vzorec zní:

$n!=\mathrm{\Gamma }(n+1)\approx \sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n$

Symbolu „přibližně“ je nutno rozumět tak, že asymptoticky platí:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n!}{\sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n}=1$

S rostoucím $n$ tedy Stirlingův vzorec procentuálně čím dál lépe aproximuje faktoriál. Absolutní odchylka faktoriálu a jeho Stirlingovy aproximace ovšem k nule nejde.

Představu o přesnosti tohoto vztahu si lze udělat z procentuální odchylky faktoriálu od Stirlingova vzorce. Tato odchylka je vždy kladná, tedy Stirlingův vzorec je vždy o něco menší než daný faktoriál. Z tabulky je patrné, že již pro $n=1$ je odchylka docela malá. Pro $n=0$ nemá Stirlingův vzorec smysl (není-li speciálně definována nula na nultou).

Odchylka n! od Stirlingova vzorce

n	${\delta }_{n!}$
1	7,7863 %
2	4,0497 %
5	1,6509 %
10	0,8295 %
20	0,4 %
40	0,2 %
60	0,1 %

Stirlingův vzorec se používá hlavně při výpočtu limit, kde vystupuje faktoriál. Ve fyzice nalézá velké uplatnění ve statistické fyzice.

Odvození

Nejlépe lze Stirlingův vzorec odvodit z definice funkce gama, platí totiž:

$n!=\mathrm{\Gamma }(n+1)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^n{e}^{-x}\mathrm{d}x=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\exp (-x+n\ln x)\mathrm{d}x$

Argument v exponenciále nabývá maxima pro $x=n$, bude proto vhodné vůči tomuto bodu funkci aproximovat pomocí Taylorovy řady. První derivace je zde nulová, jelikož se jedná o maximum, druhá derivace je záporná a rovna $-\frac{1}{n}$.

Dostáváme tedy:

$n!\approx \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\exp (n\ln n-n-\frac{1}{2n}(x-n{)}^2)\mathrm{d}x$

Kde první člen v exponenciále odpovídá funkční hodnotě v maximu, koeficient u kvadrátu je polovinou druhé derivace.

Další úpravou výrazu dostaneme:

$n!\approx {\left(\frac{n}{e}\right)}^n\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\exp (-\frac{1}{2n}(x-n{)}^2)\mathrm{d}x=\sqrt{2n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n\underset{-\sqrt{\frac{n}{2}}}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}\mathrm{d}x$

Poslední integrovaná funkce nabývá vysokých hodnot pouze v okolí počátku, a proto můžeme předpokládat, že rozšířením integračního oboru na celá reálná čísla se nedopustíme velké chyby (zajímají nás případy, kdy je $n$ velké). Pak je poslední integrál Gaussův integrál a je roven $\sqrt{\pi }$. Po dosazení tedy konečně vychází:

$n!\approx \sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n$

Což je právě Stirlingův vzorec. Toto odvození je nutno brát s rezervou, nikde jsme totiž neodhadli chybu výpočtu.

Za hranice klasického Stirlingova vzorce

Stirlingův vzorec je prvním členem asymptotického rozvoje gama funkce, tedy rozvoje, který dobře vystihuje chování faktoriálu v nekonečnu.

Chceme-li vystihnout chování faktoriálu v nekonečnu ještě lépe, je třeba použít i další členy asymptotického rozvoje gama funkce. Stirlingova asymptotická řada pro faktoriál má pak tvar:

$n!=\sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n(1+\frac{1}{12n}+\frac{1}{288n^2}-\frac{139}{51840n^3}-\frac{571}{2488320n^4}+\cdots ).$

Tato řada umožňuje přinejmenším odhadnout chybu Stirlingovy formule, okamžitě vidíme, že velikost relativní chyby je pro velká $n$ rovna $\frac{1}{12n}$. Tento odhad relativní chyby velmi dobře odpovídá chybám uvedeným v tabulce.

Poznamenejme, že uvedená asymptotická řada bodově nekonverguje, pro určité pevné $n$ se tedy od určitého členu začne součet řady vzdalovat od hodnoty, kterou má aproximovat. Vyšší členy mají tedy smysl hlavně pro velká $n$.

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat