Riemannova funkce

Riemannova funkce je v matematice reálná funkce jedné reálné proměnné, definovaná na celé množině reálných čísel, v jejímž funkčním předpisu je znát záměr demonstrovat vlastnosti rozložení racionálních a iracionálních čísel v reálné množině.

Riemannovu funkci lze považovat za rozšíření Dirichletovy funkce.

Definice a graf

Náznak grafu Riemannovy funkce

Riemannova funkce se označuje $R(x)$ a je definována následovně:

$R(x):=\{\begin{array}{cc}0,& \text{pokud}x\text{je iracionální číslo}\\ \frac{1}{q},& \text{pokud}x=\frac{p}{q},\text{kde}p,q\text{jsou nesoudělná.}\end{array}$

Graf Riemannovy funkce nelze žádným způsobem nakreslit, ani si ho představit. To, zejména v 19. století, vedlo mnohé matematiky k pochybám, zda Riemannova funkce je regulérní funkcí, či konstruktem, který nepatří do matematiky. Dnes již matematika zcela bez námitek uznává i funkce mnohem podivnější.

Vlastnosti

Riemannova funkce má následující vlastnosti:

• Není spojitá v žádném racionálním bodě.
• Je spojitá v každém iracionálním bodě.
• Pro každé $a$ platí $\underset{x\to a}{\lim }R(x)=0$.
• Není monotónní na žádném intervalu ani v žádném bodě.
• Nabývá ostrého lokálního maxima v každém racionálním bodě a neostrého globálního minima v každém iracionálním bodě.
• Lebesgueův integrál přes celý definiční obor je roven $0$.
• Newtonův integrál neexistuje.

Související články

• Bernhard Riemann
• Dirichletova funkce
• Křivka vyplňující prostor
• Weierstrassova funkce

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat