Prvočíselná funkce

Prvočíselná funkce je funkce udávající počet prvočísel menších nebo rovných zadanému reálnému číslu x . Bývá značena pomocí řeckého písmeneme π jako $\pi (x)$ (ovšem nesouvisí nijak přímo se známějším Ludolfovým číslem) a je předmětem studia v matematice, v teorii čísel.

Hodnoty π(n) pro prvních 60 přirozených čísel

Historie

Rozložení prvočísel mezi přirozenými čísly je předmětem zájmu číselných teoretiků již dlouho. Na konci 18. století vyslovili Carl Friedrich Gauss a Adrien-Marie Legendre domněnku, že prvočíselná funkce přibližně odpovídá funkci

$x/\ln (x)$

tedy že

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\pi (x)}{x/\ln (x)}=1.$

Tento výsledek, známý jako prvočíselná věta, se podařilo dokázat až v roce 1896, kdy jeho důkaz podali nezávisle na sobě Jacques Hadamard a Charles de la Vallée Poussin za použití Riemannovy funkce.

Algoritmy pro získání hodnoty $\pi (x)$

Pro malé hodnoty je nejsnazší explicitně zjistit všechna prvočísla menší než $x$ (například pomocí Eratosthenova síta) a sečíst je.

Legendre vymyslel propracovanější způsob výpočtu $\pi (x)$: Pro dané reálné číslo $x$ a různá prvočísla $p_1$, $p_2$, …, $p_k$ je počet přirozených čísel nesoudělných se všemi $p_i$ a menších než $x$ roven

$\lfloor x\rfloor -\sum _i\lfloor \frac{x}{p_i}\rfloor +\sum _{i<j}\lfloor \frac{x}{p_i{p}_j}\rfloor -\sum _{i<j<k}\lfloor \frac{x}{p_i{p}_j{p}_k}\rfloor +\cdots ,$

Pokud za $p_1$, $p_2$, …, $p_k$ zvolíme všechna prvočísla menší než odmocnina z $x$, je toto číslo rovno:

$\pi (x)-\pi \left(\sqrt{x}\right)+1$

Ještě lepší algoritmy od té doby vymysleli například Ernst Meissel nebo Derrick Henry Lehmer.

Odkazy

Související články

• Prvočíselná věta

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat