Perfektní mocnina

Šablona:Neověřeno Perfektní mocnina je číslo, které lze zapsat jako přirozenou mocninu jiného přirozeného čísla.

Formální definice: $n$ je perfektní mocnina, pokud existují přirozená čísla $m>1$, a $k>1$, pro která platí, že $m^k=n$.

Příklady a součty

Posloupnost takových mocnin může být generována pro možné hodnoty m a k. Příklad:

$2^2=4,2^3=8,3^2=9,2^4=16,4^2=16,5^2=25,3^3=27,2^5=32,6^2=36,7^2=49,2^6=64,4^3=64,8^2=64,\dots$

Vlastnosti

Součet

Součet převrácených hodnot takových čísel (každé číslo počítáme i s násobností, pokud ho lze vyjádřit více způsoby jako n^k) je 1:

$\sum _{m=2}^{\mathrm{\infty }}\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{m^k}=1.$

Důkaz:

$\sum _{m=2}^{\mathrm{\infty }}\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{m^k}=\sum _{m=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{m^2}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{m^k}=\sum _{m=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{m^2}\left(\frac{m}{m-1}\right)=\sum _{m=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{m(m-1)}=\sum _{m=2}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{m-1}-\frac{1}{m})=1.$

Goldbachova-Eulerova věta

Podle Eulera, Goldbach ukázal že součet $\frac{1}{p-1}$ přes množinu perfektních mocnin $p$, vyjma čísla 1 je 1:

$\sum _p\frac{1}{p-1}=\frac{1}{3}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{15}+\frac{1}{24}+\frac{1}{26}+\frac{1}{31}+\cdots =1.$

Známé jako Goldbachova-Eulerova věta.

Hledání celočíselných mocnin

Zjištění, zda $n$ je mocnina, může probíhat mnoha různými způsoby, s různou úrovní složitosti. Jednou z jednodušších metod je zvážit všechny možné hodnoty $k$ přes všechny dělitele $n$, až do $k\le {\log }_{2}n$. Jestliže tedy dělitelé $n$ jsou $n_1,n_2,\dots ,n_j$ pak jedna z hodnot $n_1^2,n_2^2,\dots ,n_j^2,n_1^3,n_2^3\dots$ musí být rovna $n$ jestliže $n$ je mocnina.

Tato metoda může být zjednodušena pokud $k$ hodnoty jsou prvočísla. To protože pokud $n=m^k$ pro složené číslo $k=ap$ kde $p$ je prvočíslo, můžeme jednoduše přepsat jako $n=m^k=m^{ap}=(m^a{)}^p$. Minimální hodnota $k$ je 2.

Odkazy

Související články

• Catalanova věta

Externí odkazy

• Šablona:Citace elektronického periodika
• Šablona:MathWorld
• Šablona:Citace periodika