Opačná kategorie

V teorii kategorií, oboru matematiky, je opačná kategorie či duální kategorie $𝒞{}^{\mathrm{o}\mathrm{p}}$dané kategorie $𝒞$ utvořena obrácením morfismů, tj. výměnou zdroje a cíle každého morfismu. Dvojnásobná výměna dává původní kategorii, takže opak opačné kategorie je původní kategorie. Symbolicky: ${\left(𝒞{}^{\mathrm{o}\mathrm{p}}\right)}^{\mathrm{o}\mathrm{p}}=𝒞.$

Příklady

• Příkladem je obrácení směru nerovností v částečném uspořádání. Tedy pokud X je množina a ≤ relace částečného uspořádání, můžeme definovat nový vztah částečného uspořádání ≤^op jako

x ≤^op y, právě když y ≤ x.

Toto nové uspořádání se běžně nazývá duální uspořádání k ≤ a je většinou značeno symboly jako například ≥. Proto hraje dualita důležitou roli v teorii uspořádání a každý koncept z teorie uspořádání má koncept duální. Například existují opačné dvojice dítě/rodič, potomek/předek, infimum/supremum, dolní množina/horní množina, ideál/filtr apod. Tyto duality v teorii uspořádání jsou zase zvláštními případy konstrukce opačných kategorií, protože každou uspořádanou množinu lze chápat jako kategorii.

• Pro danou pologrupu $(S,*)$se obvykle opačná pologrupa definuje jako ${(S,*)}^{\mathrm{o}\mathrm{p}}=(S,\cdot ),$ kde $x\cdot y\equiv y*x$ pro každá $x,y\in S$. Takže i pro pologrupy platí princip duality. Je zřejmé, že stejná konstrukce funguje i pro grupy a je známa také v teorii okruhů, kde se aplikuje na multiplikativní pologrupu okruhu, čímž se zkonstruuje opačný okruh. I zde lze tento proces popsat rozšířením pologrupy na monoid, přičemž se vezme příslušná opačná kategorie a nakonec se z toho monoidu případně odstraní jednotka.
• Kategorie booleovských algeber a booleovských homomorfismů je ekvivalentní k opaku kategorie Stoneových prostorů a spojitých funkcí.
• Kategorie afinních schémat je ekvivalentní k opaku kategorie komutativních okruhů.
• Pontryaginova dualita se omezuje na ekvivalenci mezi kategorií kompaktních Hausdorffových abelovských topologických grup a opakem kategorie (diskrétních) abelovských grup.
• Podle Gelfandovy-Neumarkovy věty je kategorie lokalizovatelných měřitelných prostorů (s měřitelnými funkcemi) ekvivalentní s kategorií komutativních Von Neumannových algeber (s normálními unitálními homomorfismy *-algeber).

Vlastnosti

Opak zachovává součiny:

${(𝒞\times 𝒟)}^{\mathrm{o}\mathrm{p}}\cong 𝒞{}^{\mathrm{o}\mathrm{p}}\times 𝒟{}^{\mathrm{o}\mathrm{p}}$ (viz součinová kategorie)

Opak zachovává funktory:

$\mathrm{F}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{c}{(C,D)}^{\mathrm{o}\mathrm{p}}\mathrm{\cong }\mathrm{F}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{c}(C^{\mathrm{o}\mathrm{p}},D^{\mathrm{o}\mathrm{p}})$ (viz kategorie funktorů, opačný funktor)

Opak zachovává řezy:

${(F\downarrow G)}^{\mathrm{o}\mathrm{p}}\cong (G^{\mathrm{o}\mathrm{p}}\downarrow F^{\mathrm{o}\mathrm{p}})$ (viz čárková kategorie)

Odkazy

Literatura

• Šablona:Cite book
• Šablona:Cite book

Související články

• Adujngovaný funktor
• Kontravariantní funktor
• Opačný funktor