Monoid

Schéma vztahů mezi algebraickými strukturami. Výchozí je grupoid (anglicky magma) s jednou uzavřenou operací. Přidáváním dalších podmínek vznikají např. pologrupa (semigroup) a kvazigrupa (quasigroup).

V algebře je monoid algebraická struktura s jednou asociativní binární operací a neutrálním prvkem. Je to tedy grupoid, jehož operace je asociativní a který má neutrální prvek.

Definice

Monoid je grupoid (M; ·), tedy množina M s binární operací „·“ : M × M → M, a těmito axiomy:

• Asociativita: ∀ x, y, z ∈ M (x·y)·z = x·(y·z)
• Neutrální prvek: (∃e∈ M) (∀x∈ M) x·e = e·x = x.

Někdy se uvádí i následující axiom plynoucí však z definice binární operace.

• ∀ (x, y ∈ M) x·y ∈ M

Monoid tak je vlastně pologrupa s neutrálním prvkem.

Pokud bychom doplnili tyto axiomy o existenci inverzních prvků, byla by tato struktura grupou.

Monoid, jehož operace je také komutativní, se nazývá komutativní monoid nebo abelovský monoid.

Příklady

• Přirozená čísla tvoří komutativní monoid k operaci násobení.
• Množina všech matic n×n tvoří monoid vůči sčítání i násobení

Homomorfismus monoidů

O dvou monoidech (M; ·) a (M'; ∗) řekneme, že jsou homomorfní jestliže existuje zobrazení (homomorfismus) f: M → M' takové, že:

• ∀x,y∈M f(x·y)=f(x)∗f(y).
• f(e)=e ', kde e je neutrální prvek grupoidu (M; ·) a e ' neutrální prvek grupoidu (M'; ∗).

Je-li zobrazení mezi dvěma monoidy bijektivní a je to homomorfismus, říkáme, že tyto dva monoidy jsou izomorfní.

Teorie kategorií

V teorii kategorií je monoid objekt v monoidální kategorii se dvěma morfismy (v kategorii funktorů přirozenými transformacemi) $(M,\mu ,\eta )$ splňující $\mu \circ (\eta \otimes 1)=\lambda$, $\mu \circ (1\otimes \eta )=\rho$ a $\mu \circ (\mu \otimes 1)=\mu \circ (1\otimes \mu )\circ \alpha$. Morfismus $f:M\to M^{\prime }$ je morfismem mezi monoidy, pokud ${\eta }^{\prime }=f\circ \eta$ a $f\circ \mu ={\mu }^{\prime }\circ (f\otimes f)$. Monoidy v kategorii Set známé z algebry jsou příkladem kategorických monoidů, neboť Set s operací $\times$ a terminálním prvkem tvoří monoidální kategorii.

Odkazy

Související články

• Grupoid
• Pologrupa
• Grupa - monoid rozšířený o inverzní operaci
• Volný monoid

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat