Moorova–Osgoodova věta

Eliakim Hastings Moore

Moorova–Osgoodova věta je věta z oblasti matematické analýzy pojmenovaná po matematicích E. H. Moorovi a W. F. Osgoodovi, která charakterizuje postačující podmínku pro záměnu limit v násobných limitách.

Znění

Nechť $(P,\rho )$ je metrický prostor, $x_0\in P$ je hromadný bod $P$ a funkce $f,f_n:P\to ℝ\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$ splňují

1. existuje $r\in ℝ:r>0$ takové, že $f_n$ stejnoměrně konverguje k $f$ na $B(x_0,r)\setminus \{x_0\}$
2. pro každé $n\in \mathbb{N}$ platí $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to x_0}{f}_n(x)=a_n\in ℝ$

Potom existují vlastní limity $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to x_0}f(x)$ a $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}{a}_n$. Navíc, tyto limity si jsou rovny.

Důkaz

Nejdříve ukážeme, že existuje limita $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}{a}_n$:

Dostaneme zadané $\epsilon >0$ a k němu volíme $n_0\in \mathbb{N}$ tak, aby platilo $\mathrm{\forall }x\in B(x_0,r)\setminus \{x_0\},\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},n\ge n_0:|f_n(x)-f(x)|<\frac{\epsilon }{4}$. Takové $n_0$ existuje ze stejnoměrné konvergence $f_n$ na $f$.

Mějme dále $m,n\in \mathbb{N},m,n>n_0$. Pro ně najdeme $r_n\in {ℝ}^{+}:r_n<r$ tak, aby platilo $\mathrm{\forall }x\in B(x_0,r_n)\setminus \{x_0\}:|f_n(x)-a_n|<\frac{\epsilon }{4}$. Analogicky najdeme $r_m\in {ℝ}^{+}:r_m<r$ tak, aby platilo $\mathrm{\forall }x\in B(x_0,r_m)\setminus \{x_0\}:|f_m(x)-a_m|<\frac{\epsilon }{4}$. Tato $r_m,r_n$ opět existují z konvergence limity.

Nyní uvážíme $x\in B(x_0,\text{min}\{r_m,r_n\})\setminus \{x_0\}$. Pro toto $x$ platí $|a_n-a_m|=|a_n-f_n(x)+f_n(x)-f(x)+f(x)-f_m(x)+f_m(x)-a_m|\le |a_n-f_n(x)|+|f_n(x)-f(x)|+|f(x)-f_m(x)|+|f_m(x)-a_m|=\frac{\epsilon }{4}+\frac{\epsilon }{4}+\frac{\epsilon }{4}+\frac{\epsilon }{4}=\epsilon$.

Tedy posloupnost $(a_n)$ je cauchyovská , a tedy (jelikož jsou všechny hodnoty reálné) i konvergentní a má vlastní limitu: $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}{a}_n=a\in ℝ$.

Tím je splněn první cíl. Dále dokážeme, že platí rovnost, tedy $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to x_0}f(x)=a$.

Opět mějme zadané $\epsilon >0$. K němu nalezneme $n_0\in \mathbb{N}$ takové, že $\mathrm{\forall }n\ge n_0:|a_n-a|<\frac{\epsilon }{3}$. Existence takového $n_0$ plyne z konvergence posloupnosti $(a_n)$. Dále najdeme $n_1\in \mathbb{N}$ tak, aby platilo $\mathrm{\forall }n\ge n_1:\mathrm{\forall }x\in B(x_0,r)\setminus \{x_0\}:|f_n(x)-f(x)|<\frac{\epsilon }{3}$. To existuje ze stejnoměrné konvergence $f_n\rightrightarrows f$. Nyní uvážíme libovolné $n>\text{max}\{n_0,n_1\}$ a toto $n$ zafixujeme. Nalezneme $r_1\in {ℝ}^{+}:\mathrm{\forall }x\in B(x_0,r_1)\setminus \{x_0\}:|f_n(x)-a_n|<\frac{\epsilon }{3}$.

Nakonec zvolíme $r_2=\text{min}\{r,r_1\}$. Pak $\mathrm{\forall }x\in B(x_0,r_2)\setminus \{x_0\}:|f(x)-a|=|f(x)-f_n(x)+f_n(x)-a_n+a_n-a|\le |f(x)-f_n(x)|+|f_n(x)-a_n|+|a_n-a|=\frac{\epsilon }{3}+\frac{\epsilon }{3}+\frac{\epsilon }{3}=\epsilon$, čímž jsme tvrzení dokázali.

Význam

Tato věta je významná pro svou poměrně jednoduchou charakterizaci postačující podmínky pro záměnu limit.

Zároveň lze jednoduše ukázat, že pro posloupnosti konvergující nestejnoměrně nemusí záměna limit platit: příkladem je $f_n:[0,1]\to ℝ:f_n(x)=x^n$. Pak zjevně $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}{f}_n(1)=1$ a zároveň $f_n$ konverguje (avšak ne stejnoměrně) k funkci $f(x)=0\mathrm{\forall }x\in [0,1),f(1)=1$. Také ovšem platí $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to 1}f(x)=0$ , a tedy si limity ze znění nejsou rovny.

Využití

Základním využitím této věty je právě teoretická aplikace možnosti záměny pořadí limit.

Jiné znění této věty také umožňuje ukázat konvergenci jednostranné limity dvou proměnných.

Externí odkazy

1. Moore-Osgood theorem for fuzzy functions. ResearchGate | Share and discover research [online]. Copyright © ResearchGate 2019. All rights reserved. [cit. 12.04.2019]. Dostupné z: https://www.researchgate.net/publication/266249354_Moore-Osgood_theorem_for_fuzzy_functions
2. A Boolean Derivation of the Moore-Osgood Theorem. JSTOR: Access Check. JSTOR [online]. Copyright ©2000 [cit. 12.04.2019]. Dostupné z: https://www.jstor.org/stable/2266733?seq=1#metadata_info_tab_contents
3. HOFFMAN, Kenneth. Analysis in Euclidean space. Dover ed. Mineola, N.Y.: Dover Publications, 2007. Šablona:ISBN. https://epdf.tips/analysis-in-euclidean-space8d033b5dc21477810d8465ee52f782527763.html