Metoda anihilátorů

Metoda anihilátorů je postup používaný v matematice pro hledání partikulárního řešení určitých typů nehomogenních obyčejných diferenciálních rovnic. Podobá se metodě neurčitých koeficientů, ale na rozdíl od ní není třeba partikulární řešení hádat, ale pro jisté tvary pravé strany je lze přímo určit. V metodě anihilátorů se termín neurčité koeficienty používá pro označení kroku, ve kterém se počítají koeficienty.

Postup při metodě anihilátorů je následující: Rovnici zapíšeme jako použití diferenciálního operátoru $P(D)$ na závislou proměnnou $y$: $P(D)y=f(x)$, a hledáme jiný diferenciální operátor $A(D)$ takový, že $A(D)f(x)=0$. Tento operátor se nazývá anihilátor a podle něj se jmenuje celá metoda. Použitím $A(D)$ na obě strany obyčejné diferenciální rovnice vznikne homogenní obyčejná diferenciální rovnice $(A(D)P(D))y=0$, pro kterou hledáme bázi řešení $\{y_1,\dots ,y_n\}$ jako pro původní rovnici. Původní nehomogenní obyčejná diferenciální rovnice se použije pro získání soustavy rovnic omezující koeficienty lineární kombinace tak, aby vyhovovaly obyčejné diferenciální rovnici.

Tato metoda není tak obecná jako metoda variace konstant, protože anihilátor nemusí vždy existovat.

Tvary anihilátoru

f(x)	Tvar anihilátoru
$a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0$	$D^{n+1}$
$e^{kx}$	$D-k$
$x^n.e^{kx}$	$(D-k{)}^{n+1}$
$\cos (bx)\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{b}\mathrm{o}\sin (bx)$	$D^2+b^2$
$x^n\cos (bx)\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{b}\mathrm{o}{x}^n\sin (bx)$	$(D^2+b^2{)}^{n+1}$
$e^{ax}\cos (bx)\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{b}\mathrm{o}{e}^{ax}\sin (bx)$	$(D-a{)}^2+b^2=D^2+2aD+a^2+b^2$
$x^n{e}^{ax}\cos (bx)\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{b}\mathrm{o}{x}^n{e}^{ax}\sin (bx)$	${[(D-a{)}^2+b^2]}^{n+1}={[D^2+2aD+a^2+b^2]}^{n+1}$
$a_n{x}^n+\cdots +a_{1}x+a_0+b_1{e}^{\pm c_{1}x}+\cdots +b_k{e}^{\mp c_{k}x}$	$D^{n+1}(D\mp c_1).\cdots .(D\pm c_k)$

Pokud je $f(x)$ tvořena součtem výrazů uvedených v tabulce, je anihilátor součinem odpovídajících tvarů anihilátorů.

Příklad

Řešíme rovnici $y^{″}-4y^{\prime }+5y=\sin (kx)$; diferenciální operátor $P(D)=D^2-4D+5$. Nejjednodušší anihilátor výrazu $\sin (kx)$ je $A(D)=D^2+k^2$. Kořeny $A(z)P(z)$ jsou $\{2+i,2-i,ik,-ik\}$, takže báze řešení $A(D)P(D)$ je $\{y_1,y_2,y_3,y_4\}=\{e^{(2+i)x},e^{(2-i)x},e^{ikx},e^{-ikx}\}.$

Položením $y=c_1{y}_1+c_2{y}_2+c_3{y}_3+c_4{y}_4$ dostaneme

$\begin{array}{cc}\sin (kx)& =P(D)y\\ & =P(D)(c_1{y}_1+c_2{y}_2+c_3{y}_3+c_4{y}_4)\\ & =c_{1}P(D)y_1+c_{2}P(D)y_2+c_{3}P(D)y_3+c_{4}P(D)y_4\\ & =0+0+c_3(-k^2-4ik+5)y_3+c_4(-k^2+4ik+5)y_4\\ & =c_3(-k^2-4ik+5)(\cos (kx)+i\sin (kx))+c_4(-k^2+4ik+5)(\cos (kx)-i\sin (kx))\end{array}$

což dává soustavu rovnic

$i=(k^2+4ik-5)c_3+(-k^2+4ik+5)c_4$

$0=(k^2+4ik-5)c_3+(k^2-4ik-5)c_4$

která má řešení

$c_3=\frac{i}{2(k^2+4ik-5)}$, $c_4=\frac{i}{2(-k^2+4ik+5)}$

takže množina řešení

$\begin{array}{cc}y& =c_1{y}_1+c_2{y}_2+\frac{i}{2(k^2+4ik-5)}{y}_3+\frac{i}{2(-k^2+4ik+5)}{y}_4\\ & =c_1{y}_1+c_2{y}_2+\frac{4k\cos (kx)-(k^2-5)\sin (kx)}{(k^2+4ik-5)(k^2-4ik-5)}\\ & =c_1{y}_1+c_2{y}_2+\frac{4k\cos (kx)+(5-k^2)\sin (kx)}{k^4+6k^2+25}.\end{array}$

Toto řešení můžeme rozložit na homogenní a nehomogenní složku. Konkrétně $y_p=\frac{4k\cos (kx)+(5-k^2)\sin (kx)}{k^4+6k^2+25}$ je partikulární integrál pro nehomogenní diferenciální rovnici a $y_c=c_1{y}_1+c_2{y}_2$ je komplementární řešení odpovídající homogenní rovnici. Hodnoty $c_1$ a $c_2$ jsou obvykle určeny množinou počátečních podmínek. Protože se jedná o rovnici druhého řádu, pro určení těchto hodnot potřebujeme dvě takové podmínky.

Fundamentální řešení $y_1=e^{(2+i)x}$ a $y_2=e^{(2-i)x}$ můžeme dále přepsat pomocí Eulerova vzorce:

$e^{(2+i)x}=e^{2x}{e}^{ix}=e^{2x}(\cos x+i\sin x)$

$e^{(2-i)x}=e^{2x}{e}^{-ix}=e^{2x}(\cos x-i\sin x)$

Pak $c_1{y}_1+c_2{y}_2=c_1{e}^{2x}(\cos x+i\sin x)+c_2{e}^{2x}(\cos x-i\sin x)=(c_1+c_2)e^{2x}\cos x+i(c_1-c_2)e^{2x}\sin x$ a vhodná úprava konstant dává jednodušší a srozumitelnější tvar komplementárního řešení, $y_c=e^{2x}(c_1\cos x+c_2\sin x)$.