Lineární aproximace

Lineární aproximace funkce. Modrá funkce je funkce, se kterou chceme pracovat, ale je komplikovaná. Červená je její lineární aproximace v nule. Je jednodušší, ale je blízko k modré funkci jenom v okolí počátku.

Lineární aproximace je metoda lokálního nahrazení funkčního předpisu funkce jeho přibližným vyjádřením pomocí lineární funkce. Účelem je snížení výpočetní náročnosti. Protože se jedná o aproximaci, je toto zjednodušení na úkor přesnosti. Používá se při numerických výpočtech i při analytickém řešení úloh.

Například kmity matematického kyvadla jsou popsány diferenciální rovnicí $\ddot{\phi }+\frac{g}{l}\sin \phi =0$, jejíž řešení nelze vyjádřit v analytickém tvaru. Při použití lineární aproximace pro malé výchylky se rovnice redukuje na $\ddot{\phi }+\frac{g}{l}\phi =0$, jejíž řešení je možno napsat pomocí goniometrických funkcí a je tak možné pracovat s analytickým tvarem řešení, toto řešení je však platné pouze pro malé výchylky.

Vzorce pro lineární aproximaci

Aby bylo možné následující aproximace použít, musí být funkce dostatečně hladká v bodě, v jehož okolí je aproximována. Matematicky medota vychází z Taylorova polynomu, který je možné použít i pro odhad chyby aproximace.

• Funkce $f(x)$ jedné proměnné má v bodě $x_0$ lineární aproximaci $$f(x)\approx f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0),$$kde $f^{\prime }(x_0)$ je derivace funkce $f(x)$ vypočtená v bodě $x_0.$
• Funkce $f(x,y)$ dvou proměnných má v bodě $(x_0,y_0)$ lineární aproximaci $$f(x,y)\approx f(x_0,y_0)+f{\text{'}}_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f{\text{'}}_y(x_0,y_0)(y-y_0),$$kde $f{\text{'}}_x(x_0,y_0)$ a $f{\text{'}}_y(x_0,y_0)$ jsou parciální derivace funkce $f(x,y)$ vypočtené v bodě $(x_0,y_0).$ Toto je možné zapsat pomocí gradientu $\mathrm{\nabla }f(x_0,y_0)$ a skalárního součinu ve dvoučlenném tvaru

$$f(x,y)\approx f(x_0,y_0)+\mathrm{\nabla }f(x_0,y_0)\cdot (x-x_0,y-y_0).$$

• Vektorová funkce $F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))$ dvou proměnných má v bodě $(x_0,y_0)$ lineární aproximaci $$F(x,y)\approx F(x_0,y_0)+J(x_0,y_0)\left(\begin{array}{c}x-x_0\\ y-y_0\end{array}\right),$$kde $J(x_0,y_0)=\left(\begin{array}{cc}\frac{\partial P}{\partial x}(x_0,y_0)& \frac{\partial P}{\partial y}(x_0,y_0)\\ \frac{\partial Q}{\partial x}(x_0,y_0)& \frac{\partial Q}{\partial x}(x_0,y_0)\end{array}\right)$ je Jacobiho matice funkce $F(x,y)$ vypočtená v bodě $(x_0,y_0)$ a součin Jacobiho matice s sloupcovým vektorem na pravé straně chápeme jako maticový součin.

Analogicky je možno napsat aproximaci funkce libovolného počtu proměnných.

Nejběžnější lineární aproximace

Všechny následující aproximace platí v okolí nuly a jsou přímými důsledky vzorce pro lineární aproximaci funkce jedné proměnné.

$$\begin{array}{cc}\sin x& \approx x\\ \\ \cos x& \approx 1\\ \\ \sqrt{1\pm x}& \approx 1\pm \frac{1}{2}x\\ \\ \frac{1}{\sqrt{1\pm x}}& \approx 1\mp \frac{1}{2}x\\ \\ (1\pm x{)}^n& \approx 1\pm nx\end{array}$$

Využití lineární aproximace

• Lineární aproximace umožňuje redukovat přesný (ale komplikovaný a nelineární) relativistický vzorec pro kinetickou energii na jednoduchou kvadratickou závislost kinetické energie na rychlosti podle Newtonovské fyziky. V tomto případě používáme lineární aproximaci pro Lorentzův faktor. Ten má s využitím přibližného vzorce $\frac{1}{\sqrt{1-x}}\approx 1+\frac{1}{2}x$ pro $x=\frac{v^2}{c^2}$ aproximaci $$\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\approx 1+\frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2}.$$Graficky je tato aproximace zachycena v úvodním obrázku pro Lorentzův faktor snížený o jedničku, což dává při použití přímo člen vyjařující kinetickou energii.
• Pokud je funkční hodnota v bodě aproximace nulová, redukuje se lineární aproximace na přímou úměrnost. Proto jsou konstitutivní zákony vyjadřovány pomocí přímé úměrnosti. V případě konstitutivního zákona mezi dvěma vektorovými veličinami je úměrnost vyjádřena Jacobiho maticí, tj. tenzorem druhého řádu. V tomto kontextu se matice z lineární aproximace často nazývá difuzní matice.

Odkazy

Související články

• Derivace
• Taylorův polynom
• Aproximace

Literatura

• Rektorys Karel a kol.: Přehled užité matematiky I.. Prometheus, Praha, 2003, 7. vydání. Šablona:ISBN

Externí odkazy

• Aproximace ve fyzikálních úlohách, studijní text pro řešitele FO a ostatní zájemce o fyziku, Martin Kapoun