Lindelöfova pokrývací věta

Nechť $(P,\rho )$ je metrický prostor a $M\subset P$ separabilní množina. Existuje-li nespočetné pokrytí množiny M otevřenými množinami $G_{\alpha }$, pak z tohoto pokrytí lze vybrat spočetné podpokrytí.

Důkaz

Mějme tedy pokrytí $M\subset {\cup }_{\alpha \in A}{G}_{\alpha }$.

Ze separability M plyne existence spočetné množiny $\{x_n\}$, která je hustá v M. Zavedu systém okolí:

$O:=\{U_{\frac{1}{m}}(x_n)|m,n\in 𝐍|\mathrm{\exists }\alpha \in A:U_{\frac{1}{m}}(x_n)\subset G_{\alpha }\}$.

Zřejmě je množina O spočetná (protože je indexována přirozenými čísly). Dále O je pokrytím M, protože:

• Zvolím libovolné $x\in M$ a chci ukázat, že existují přirozená čísla n₀ a m₀ taková, že $x\in U_{\frac{1}{m_0}}(x_{n_0})$. Nejprve tedy najdu takové $\alpha \in A$, že $x\in G_{\alpha }$. Protože $G_{\alpha }$ je otevřená, vím, že existuje $ϵ>0$ takové, že $U_{ϵ}(x)\subset G_{\alpha }$. Najdu tedy m₀ takové, aby $\frac{2}{m_0}<ϵ$.
• Dále vím, že $\{x_n\}$ je hustá v M, tedy existuje n₀ přirozené takové, že $x_{n_0}\in U_{\frac{1}{m_0}}(x)$, tedy $x\in U_{\frac{1}{m_0}}(x_{n_0})$.
• Tohle okolí je ale zvolené tak, že pro něj platí $U_{\frac{1}{m_0}}(x_{n_0})\subset U_{ϵ}(x)\subset G_{\alpha }$, a tedy platí $U_{\frac{1}{m_0}}(x_{n_0})\in O$.

Pro každé $U_{\frac{1}{m}}(x_n)\in O$ najdu ${\alpha }_{m,n}$ tak, aby $U_{\frac{1}{m}}(x_n)\subset G_{\alpha }$ a množinu těchto $\alpha$ označím B. Množina B je spočetná (protože je indexována přirozenými čísly), a platí

${\cup }_{\alpha \in B}{G}_{\alpha }\supset M$,

tedy mám spočetné pokrytí množiny M vybrané z nespočetného pokrytí.

Související články

• Borelova pokrývací věta
• Metrický prostor
• Pokrytí
• Separabilní prostor