Laplaceův–Rungeův–Lenzův vektor

Šablona:Upravit Laplaceův-Rungeův-Lenzův vektor, někdy též LRL vektor, je vektor popisující tvar a směr orbity jednoho tělesa kolem jiného. Je konstantním vektorem v případě pohybu v Newtonově potenciálu. Máme-li systém popsaný hamiltoniánem

$H=\frac{p^2}{2m}-\frac{k}{r}$,

pak je LRL vektor definován jako:

$𝐀=𝐩\times 𝐋-mk\frac{𝐫}{r}$

LRL vektor společně s energií a momentem hybnosti představuje integrál pohybu pro pohyb v Newtonově potenciálu.

Velikosti všech těchto integrálů pohybu jednoznačně určují trajektorii. Protože je $𝐀$ vždy kolmý na $𝐋$, jsou velikosti těchto integrálů určeny 6 nezávislými čísly. Trajektorii stejně tak určuje poloha a hybnost v určitém čase, což je taktéž 6 nezávislých hodnot.

Důkaz toho, že LRL vektor je integrálem pohybu

Vypočtěme

$\frac{d𝐀}{dt}=\frac{d𝐩}{dt}\times L-mk\frac{d}{dt}\frac{𝐫}{r}$

Ovšem $\frac{d𝐩}{dt}$ odpovídá síle, tedy

$\frac{d𝐀}{dt}=-k\frac{𝐫}{r^3}\times 𝐋-mk\frac{𝐯}{r}+mk\frac{𝐫v_r}{r^2}$

$\frac{d𝐀}{dt}=-k\frac{𝐫}{r^3}\times (𝐫\times 𝐩)-k\frac{𝐩}{r}+mk\frac{𝐫(𝐯\cdot 𝐫)}{r^3}$

$\frac{d𝐀}{dt}=-k\frac{1}{r^3}(𝐫(𝐫\cdot 𝐩)-𝐩r^2)-k\frac{𝐩}{r}+k\frac{𝐫(𝐩\cdot 𝐫)}{r^3}$

$\frac{d𝐀}{dt}=0$

Vektor se nemění s časem, proto je integrálem pohybu.

Rozptyl na Newtonově potenciálu

Uvažujme částici, která přilétá z nekonečna tak, že by bez přítomnosti pole minula rozptylové centrum ve vzdálenosti $a$ (impaktní parametr). Jeli pole přítomno, je částice odchýlena. Víme přitom, že velikost a směr LRL vektoru zůstává konstantní, tedy

${𝐩}_{\mathrm{𝟏}}\times 𝐋-mk\frac{{𝐫}_{\mathrm{𝟏}}}{r_1}={𝐩}_{\mathrm{𝟐}}\times 𝐋-mk\frac{{𝐫}_{\mathrm{𝟐}}}{r_2}$

Kde levá strana je velikost vektoru daleko před tím, než došlo k interakci, zatímco pravá naopak daleko po ní. Označíme-li

${𝐞}_1=\frac{{𝐫}_1}{r_1}{𝐞}_2=\frac{{𝐫}_2}{r_2}$,

pak vzhledem k tomu že daleko od místa interakce letí částice v podstatě ve směru jejího polohového vektoru, lze psát:

$-p{𝐞}_1\times 𝐋-mk{𝐞}_1=p{𝐞}_2\times 𝐋-mk{𝐞}_2$

Kde $p$ je velikost hybnosti v nekonečnu. Nebo po úpravě

$p({𝐞}_1+{𝐞}_2)\times 𝐋=mk({𝐞}_2-{𝐞}_1)$

Tuto vektorovou rovnici umocníme (vektory ${𝐞}_1$ a ${𝐞}_2$ jsou kolmé na $𝐋$):

$p^2{L}^2(2+2\cos \alpha )=m^2{k}^2(2-2\cos \alpha )$

Kde $\alpha$ je úhel mezi vektorama $e_1$ a $e_2$, Nás ovšem spíše zajímá vychýlení částice, tedy úhel $\varphi =\pi -\alpha$. Dostáváme pak:

$p^2{L}^2(2-2\cos \varphi )=m^2{k}^2(2+2\cos \varphi )$

Po úpravě:

$\tan \frac{\varphi }{2}=\sqrt{\frac{1-\cos \varphi }{1+\cos \varphi }}=\frac{mk}{pL}$

Což po dosazení za velikost momentu hybnosti $L=pa$ dává vztah

$\tan \frac{\varphi }{2}=\frac{mk}{a{p}^2}=\frac{k}{2aE}$

Známe tedy závislost odchýlení částice na impaktním parametru $a$. Nyní již snadno vypočítáme diferenciální účinný průřez:

$\frac{d\sigma }{d\mathrm{\Omega }}=\frac{2\pi ada}{2\pi \sin \varphi d\varphi }=\frac{a}{\sin a}|\frac{da}{d\varphi }|$

Přitom dle odvozeného vztahu pro odchýlení částice platí

$\frac{da}{d\varphi }=\frac{-k}{4E}\frac{1}{{\sin }^2\frac{\varphi }{2}}$

Po dosazení získáváme Rutherfordovu formuli pro rozptyl.

$\frac{d\sigma }{d\mathrm{\Omega }}=\frac{k^2}{16E^2}\frac{1}{{\sin }^4\frac{\varphi }{2}}$

Odvození trajektorie pohybu v Newtonově potenciálu

Uvažujme, že při tomto pohybu je v určitém místě hybnost kolmá na průvodič. V tomto bodě má pak průvodič částice stejný směr jako LRL vektor. Protože je LRL vektor konstantní v čase, je zřejmé, že má vždy tento směr.

Dále promítněme LRL vektor do směru průvodiče, tedy:

$A_r=𝐀\cdot \frac{𝐫}{r}=\frac{𝐫}{r}\cdot (𝐩\times 𝐋)-mk\frac{𝐫}{r}\cdot \frac{𝐫}{r}=\frac{1}{r}𝐋\cdot (𝐫\times 𝐩)-mk=\frac{L^2}{r}-mk$

Označme dále úhlovou odchylku průvodiče od směru LRL vektoru jako $\varphi$, potom platí také:

$A_r=A\cos \varphi$

Porovnáním těchto dvou výrazů dostaneme

$r=\frac{L^2}{mk+A\cos \varphi }=\frac{\frac{L^2}{mk}}{1+\frac{A}{mk}\cos \varphi }$.

Což je samozřejmě rovnice kuželosečky v polárních souřadnicích. Velikost LRL vektoru je tedy úměrná numerické excentricitě, speciálně, pokud je $𝐀=0$, pak je pohyb kruhový.

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat