Kuratowského axiomy uzávěru

Kuratowského axiomy uzávěru je sada axiomů v topologii a příbuzných oblastech matematiky, které lze použít pro definici topologického prostoru na množině. Jsou ekvivalentní s častěji používanou definicí otevřené množiny. Axiomy formalizoval Kazimierz Kuratowski,Šablona:Sfn a myšlenku dále rozvinuli další matematici, mimo jiné Wacław Sierpiński a António Monteiro.Šablona:Sfn

Pro definici topologické struktury lze použít i podobnou množinu axiomů, která používá duální pojem operátoru vnitřku množiny.Šablona:Sfn

Definice

Kuratowského operátory uzávěru a jejich zeslabení

Nechť $X$ je libovolná množina a $\mathrm{\wp }(X)$ její potenční množina. Kuratowského operátor uzávěru je unární operace $𝐜:\mathrm{\wp }(X)\to \mathrm{\wp }(X)$ s následujícími vlastnostmi:

Důsledkem toho, že $𝐜$ zachovává binární sjednocení, jeŠablona:Sfn Šablona:Citát v rámečku Pokud rovnost v [K4] nahradíme inkluzí, dostaneme slabší axiom [K4''] (subaditivity): Šablona:Citát v rámečku pak je dobře vidět, že splnění axiomů [K4'] a [K4''] je ekvivalentní s [K4] (viz předposlední odstavec důkazu 2 níže).

Šablona:Harvnb uvádí pátý (volitelný) axiom, který vyžaduje, aby jednoprvkové množiny byly stabilní vůči operaci uzávěru: pro všechny $x\in X$, $𝐜(\{x\})=\{x\}$. Topologické prostory, které vyhovují všem pěti axiomům, nazývá T₁-prostory, v protikladu k obecnějším prostorům, které vyhovují pouze prvním čtyřem axiomům. Skutečně, tyto prostory odpovídají přesně topologickým T₁-prostorům díky obvyklé korespondenci (viz níže).Šablona:Sfn

Pokud vynecháme požadavek [K3], pak axiomy definují Čechův uzávěrový operátor.Šablona:Sfn Pokud vynecháme [K1], pak operátor vyhovující [K2], [K3] a [K4'] se nazývá Mooreho uzávěrový operátor. Dvojici $(X,𝐜)$ nazýváme Kuratowského, Čechův nebo Mooreův prostor uzávěrů podle toho, které axiomy $𝐜$ splňuje.

Alternativní axiomatizace

Čtyři Kuratowského axiomy uzávěru lze nahradit jedinou podmínkou, kterou popsal Pervin:Šablona:Sfn Šablona:Citát v rámečku

Lze dokázat, že axiomy [K1]–[K4] vyplývají z této podmínky:

1. Zvolme $A=B=\varnothing$. Pak $\varnothing \cup 𝐜(\varnothing )\cup 𝐜(𝐜(\varnothing ))=𝐜(\varnothing )\setminus 𝐜(\varnothing )=\varnothing$nebo $𝐜(\varnothing )\cup 𝐜(𝐜(\varnothing ))=\varnothing$. Z toho okamžitě plyne [K1].
2. Zvolme libovolné $A\subseteq X$ a $B=\varnothing$. Pak použitím axiomu [K1], $A\cup 𝐜(A)=𝐜(A)$, z čehož plyne [K2].
3. Zvolme $A=\varnothing$ a libovolné $B\subseteq X$. Pak použitím axiomu [K1], $𝐜(𝐜(B))=𝐜(B)$, což je [K3].
4. Zvolme libovolné $A,B\subseteq X$. Použitím axiomů [K1]–[K3] odvodíme [K4].

Šablona:Harvnb alternativně navrhl slabší axiom, ze kterého vyplývají pouze axiomy [K2]–[K4]:Šablona:Sfn Šablona:Citát v rámečku Axiom [K1] je nezávislý na [M] : skutečně, pokud $X\ne \varnothing$, operátor ${𝐜}^{\star }:\mathrm{\wp }(X)\to \mathrm{\wp }(X)$ definovaný přiřazením konstanty $A\mapsto {𝐜}^{\star }(A):=X$ splňuje [M] ale nezachovává prázdnou množinu, protože ${𝐜}^{\star }(\varnothing )=X$. Všimněte si, že z definice plyne, že jakýkoli operátor vyhovující [M] je Mooreho uzávěrový operátor.

M. O. Botelho a M. H. Teixeira popsali symetričtější alternativu [M], ze která vyplývají axiomy [K2]–[K4]:Šablona:Sfn Šablona:Citát v rámečku

Analogické struktury

Operátory vnitřku, vnějšku a hranice

Duálním pojmem ke Kuratowského operátorům uzávěru je Kuratowského operátor vnitřku, což je zobrazení $𝐢:\mathrm{\wp }(X)\to \mathrm{\wp }(X)$ vyhovující následujícím požadavkům:Šablona:Sfn

Tyto operátory splňují podobné podmínky, které byly odvozeny pro Kuratowského uzávěry. Například všechny Kuratowského operátory vnitřku jsou izotonní, tj. vyhovují [K4'], a díky intenzivitě [I2] je možné rovnost v [I3] oslabit na jednoduchou inkluzi.

Dualita mezi Kuratowského uzávěry a vnitřky vyplývá z přirozeného operátoru komplementu na $\mathrm{\wp }(X)$, zobrazení $𝐧:\mathrm{\wp }(X)\to \mathrm{\wp }(X)$ zobrazující $A\mapsto 𝐧(A):=X\setminus A$. Toto zobrazení je ortokomplementem na svazu potenční množiny, což znamená, že vyhovuje De Morganovým zákonům: pokud $ℐ$ je libovolná množina indexů a $\{A_i{\}}_{i\in ℐ}\subseteq \mathrm{\wp }(X)$, pak $$𝐧\left(\bigcup _{i\in ℐ}{A}_i\right)=\bigcap _{i\in ℐ}𝐧(A_i),𝐧\left(\bigcap _{i\in ℐ}{A}_i\right)=\bigcup _{i\in ℐ}𝐧(A_i).$$

Použitím těchto zákonů a definičních vlastností $𝐧$ můžeme ukázat, že jakýkoli Kuratowského vnitřek zavádí Kuratowského uzávěr (a naopak) definováním relace $𝐜:=𝐧𝐢𝐧$ (a $𝐢:=𝐧𝐜𝐧$). Každý výsledek získaný pomocí $𝐜$ lze použitím těchto relací ve spojení s vlastností ortokomplementace $𝐧$ převést na výsledek používající $𝐢$.

Šablona:Harvnb dále popisuje analogické axiomy pro Kuratowského operátory vnějškuŠablona:Sfn a Kuratowského operátory hranice,Šablona:Sfn který relací $𝐜:=𝐧𝐞$ a $𝐜(A):=A\cup 𝐛(A)$ zavádějí také Kuratowského uzávěry.

Abstraktní operátory

Šablona:Podrobně Všimněte si, že axiomy [K1]–[K4] lze upravit, aby definovaly abstraktní unární operaci $𝐜:L\to L$ na obecném omezeném svazu $(L,\wedge ,\vee ,\mathrm{𝟎},\mathrm{𝟏})$, formální substitucí množinově teoretický inkluze částečným uspořádáním svazu, množinově-teoretického sjednocení operací spojení, a množinově-teoretické průniky operací průseku; podobně pro axiomy [I1]–[I4]. Pokud je svaz ortodoplňkový, tyto dvě abstraktní operace indukují obvyklým způsobem jedna druhou. Abstraktní operátory uzávěru nebo vnitřku lze použít pro definici zobecněné topologie na svazu.

Protože v podmínkách Mooreova uzávěrového operátoru se nevyskytují žádná sjednocení ani prázdné množiny, je možné definici upravit, aby definovala abstraktní unární operátor $𝐜:S\to S$ na libovolné uspořádané množině $S$.

Spojitost s jinými axiomatizacemi topologie

Indukce topologie z uzávěru

Uzávěrový operátor přirozeně zavádí topologii takto: Nechť $X$ je libovolná množina. Říkáme, že podmnožina $C\subseteq X$ je uzavřená vůči Kuratowského operátoru uzávěru $𝐜:\mathrm{\wp }(X)\to \mathrm{\wp }(X)$ právě tehdy, když je pevným bodem uvedeného operátoru nebo jinými slovy když je stabilní při použití operátoru $𝐜$, tj. $𝐜(C)=C$. Tvrzení je, že rodina všech podmnožin celého prostoru, které jsou komplementy uzavřených množin, vyhovuje třem obvyklým požadavkům na topologii, nebo ekvivalentně, že rodina $𝔖[𝐜]$ všech uzavřených množin vyhovuje následujícím podmínkám: Šablona:Citát v rámečku

Všimněte si, že, díky idempotenci [K3], můžeme stručně psát $𝔖[𝐜]=\mathrm{im}(𝐜)$.

Šablona:Skrýt-začátek [T1] díky extenzivitě [K2], $X\subseteq 𝐜(X)$ a protože uzávěr převádí potenční množinu $X$ na sebe samu (tj. obrazem jakékoli podmnožiny je podmnožina $X$), $𝐜(X)\subseteq X$ máme $X=𝐜(X)$. Tedy $X\in 𝔖[𝐜]$. Zachování prázdné množiny [K1] vyplývá z $\varnothing \in 𝔖[𝐜]$.

[T2] nechť dále $ℐ$ je libovolná množina indexů a nechť $C_i$ je uzavřená pro každé $i\in ℐ$. Z extenzivity [K2], $\bigcap _{i\in ℐ}{C}_i\subseteq 𝐜\left(\bigcap _{i\in ℐ}{C}_i\right)$. Také díky izotoničnosti [K4'], pokud $\bigcap _{i\in ℐ}{C}_i\subseteq C_i$pro všechny indexy $i\in ℐ$, pak $𝐜\left(\bigcap _{i\in ℐ}{C}_i\right)\subseteq 𝐜(C_i)=C_i$ pro všechna $i\in ℐ$, z čehož plyne $𝐜\left(\bigcap _{i\in ℐ}{C}_i\right)\subseteq \bigcap _{i\in ℐ}{C}_i$. Proto, $\bigcap _{i\in ℐ}{C}_i=𝐜\left(\bigcap _{i\in ℐ}{C}_i\right)$, význam $\bigcap _{i\in ℐ}{C}_i\in 𝔖[𝐜]$.

[T3] Konečně nechť $ℐ$ je konečná množina indexů a nechť $C_i$ je uzavřená pro každé $i\in ℐ$. Ze zachování binárního sjednocení [K4] a použitím matematické indukce podle počtu podmnožin, z nichž vezmeme sjednocení, dostáváme $\bigcup _{i\in ℐ}{C}_i=𝐜\left(\bigcup _{i\in ℐ}{C}_i\right)$. Tedy $\bigcup _{i\in ℐ}{C}_i\in 𝔖[𝐜]$. Šablona:Skrýt-konec

Indukce uzávěru z topologie

Opačně, je-li dána rodina $\kappa$ vyhovující axiomům [T1]–[T3], je možné zkonstruovat Kuratowského operátor uzávěru tímto způsobem: pokud $A\in \mathrm{\wp }(X)$ a $A^{\uparrow }=\{B\in \mathrm{\wp }(X)|A\subseteq B\}$ je horní množinou $A$ vůči inkluzi, pak $${𝐜}_{\kappa }(A):=\bigcap _{B\in (\kappa \cap A^{\uparrow })}B$$

definuje Kuratowského operátor uzávěru ${𝐜}_{\kappa }$ na $\mathrm{\wp }(X)$.

Šablona:Skrýt-začátek [K1] Protože ${\varnothing }^{\uparrow }=\mathrm{\wp }(X)$, ${𝐜}_{\kappa }(\varnothing )$ omezuje na průnik všech množin v rodině $\kappa$; ale podle axiomu [T1] je $\varnothing \in \kappa$, takže průnik se zcvrkne na prázdnou množinu a dostáváme [K1].

[K2] Z definice $A^{\uparrow }$ plyne, že $A\subseteq B$ pro všechny $B\in (\kappa \cap A^{\uparrow })$, a tedy $A$ musí být obsažena v průniku všech takových množin. Odtud dostáváme extenzivitu [K2].

[K3] Všimněte si, že pro všechny $A\in \mathrm{\wp }(X)$, rodina ${𝐜}_{\kappa }(A{)}^{\uparrow }\cap \kappa$ obsahuje ${𝐜}_{\kappa }(A)$ samotný jako minimální prvek vzhledem k inkluzi. Tedy ${𝐜}_{\kappa }^2(A)=\bigcap _{B\in {𝐜}_{\kappa }(A{)}^{\uparrow }\cap \kappa }B={𝐜}_{\kappa }(A)$, což je idempotence [K3].

[K4’] Nechť $A\subseteq B\subseteq X$: pak $B^{\uparrow }\subseteq A^{\uparrow }$, a tedy $\kappa \cap B^{\uparrow }\subseteq \kappa \cap A^{\uparrow }$. Protože druhá rodina může obsahovat více prvků než první, najdeme ${𝐜}_{\kappa }(A)\subseteq {𝐜}_{\kappa }(B)$, což je izotoničnost [K4']. Všimněte si, že z izotoničnost plyne ${𝐜}_{\kappa }(A)\subseteq {𝐜}_{\kappa }(A\cup B)$ a ${𝐜}_{\kappa }(B)\subseteq {𝐜}_{\kappa }(A\cup B)$, který současně znamená ${𝐜}_{\kappa }(A)\cup {𝐜}_{\kappa }(B)\subseteq {𝐜}_{\kappa }(A\cup B)$.

[K4] Nakonec vezmeme určité $A,B\in \mathrm{\wp }(X)$. Z axiomu [T2] plyne ${𝐜}_{\kappa }(A),{𝐜}_{\kappa }(B)\in \kappa$; navíc, axiom [T2] vyplývá, že ${𝐜}_{\kappa }(A)\cup {𝐜}_{\kappa }(B)\in \kappa$. Díky extenzivitě [K2] máme ${𝐜}_{\kappa }(A)\in A^{\uparrow }$ a ${𝐜}_{\kappa }(B)\in B^{\uparrow }$, takže ${𝐜}_{\kappa }(A)\cup {𝐜}_{\kappa }(B)\in \left(A^{\uparrow }\right)\cap \left(B^{\uparrow }\right)$. Ale $\left(A^{\uparrow }\right)\cap \left(B^{\uparrow }\right)=(A\cup B{)}^{\uparrow }$, tak, že všechno ve všech ${𝐜}_{\kappa }(A)\cup {𝐜}_{\kappa }(B)\in \kappa \cap (A\cup B{)}^{\uparrow }$. Protože ${𝐜}_{\kappa }(A\cup B)$ je minimálním prvkem $\kappa \cap (A\cup B{)}^{\uparrow }$ vzhledem k inkluzi, najdeme ${𝐜}_{\kappa }(A\cup B)\subseteq {𝐜}_{\kappa }(A)\cup {𝐜}_{\kappa }(B)$. Bod 4 zajišťuje aditivita [K4]. Šablona:Skrýt-konec

Přesná korespondence mezi strukturami

Ve skutečnosti jsou tyto dvě komplementární konstrukce navzájem inverzní: pokud ${\mathrm{C}\mathrm{l}\mathrm{s}}_{\text{K}}(X)$ je kolekce všech Kuratowského operátorů uzávěru na $X$, a $\mathrm{A}\mathrm{t}\mathrm{p}(X)$ je kolekce všech rodin sestávající z komplementů všech množin v topologii, tj. kolekce všech rodin vyhovujících [T1]–[T3], pak $𝔖:{\mathrm{C}\mathrm{l}\mathrm{s}}_{\text{K}}(X)\to \mathrm{A}\mathrm{t}\mathrm{p}(X)$ takový, že $𝐜\mapsto 𝔖[𝐜]$ je bijekci, jejíž inverzní popisuje vztah udělení $ℭ:\kappa \mapsto {𝐜}_{\kappa }$.

Šablona:Skrýt-začátek Nejdříve dokážeme, že $ℭ\circ 𝔖=1_{{\mathrm{C}\mathrm{l}\mathrm{s}}_{\text{K}}(X)}$, operátor identity na ${\mathrm{C}\mathrm{l}\mathrm{s}}_{\text{K}}(X)$. Pro daný Kuratowského uzávěr $𝐜\in {\mathrm{C}\mathrm{l}\mathrm{s}}_{\text{K}}(X)$, definuje ${𝐜}^{\prime }:=ℭ[𝔖[𝐜]]$; pak, pokud $A\in \mathrm{\wp }(X)$ jeho primed uzávěr ${𝐜}^{\prime }(A)$ je průnik všech $𝐜$-stabilní množiny, které obsahuje $A$. Jeho neprimed uzávěr $𝐜(A)$ vyhovuje tento popis: díky extenzivitě [K2] máme $A\subseteq 𝐜(A)$, a díky idempotenci [K3] máme $𝐜(𝐜(A))=𝐜(A)$, a tedy $𝐜(A)\in (A^{\uparrow }\cap 𝔖[𝐜])$. Nyní nechť $C\in (A^{\uparrow }\cap 𝔖[𝐜])$ taková, že $A\subseteq C\subseteq 𝐜(A)$: z izotoničnosti [K4'] dostáváme $𝐜(A)\subseteq 𝐜(C)$, a protože $𝐜(C)=C$ docházíme k závěru, že $C=𝐜(A)$. Tedy $𝐜(A)$ je minimálním prvkem $A^{\uparrow }\cap 𝔖[𝐜]$ vzhledem k inkluzi, z čehož plyne ${𝐜}^{\prime }(A)=𝐜(A)$.

Nyní dokážeme, že $𝔖\circ ℭ=1_{\mathrm{A}\mathrm{t}\mathrm{p}(X)}$. Pokud $\kappa \in \mathrm{A}\mathrm{t}\mathrm{p}(X)$ a ${\kappa }^{\prime }:=𝔖[ℭ[\kappa ]]$ je rodina všech množin, které jsou stabilní vůči ${𝐜}_{\kappa }$, dostáváme, pokud oba ${\kappa }^{\prime }\subseteq \kappa$ a $\kappa \subseteq {\kappa }^{\prime }$. Nechť $A\in {\kappa }^{\prime }$: tedy ${𝐜}_{\kappa }(A)=A$. Protože ${𝐜}_{\kappa }(A)$ je průnik libovolné podrodiny $\kappa$, a druhá je uzavřená vůči libovolným průnikům podle [T2], pak $A={𝐜}_{\kappa }(A)\in \kappa$. Opačně, pokud $A\in \kappa$, pak ${𝐜}_{\kappa }(A)$ je minimální nadmnožina $A$, která je obsažena v $\kappa$. Ale to je triviálně samotné $A$, z čehož plyne $A\in {\kappa }^{\prime }$. Šablona:Skrýt-konec

Pozorujeme, že můžeme také rozšířit bijekci $𝔖$ na kolekci ${\mathrm{C}\mathrm{l}\mathrm{s}}_{\check{C}}(X)$ všech Čechových uzávěrových operátorů, která striktně obsahuje ${\mathrm{C}\mathrm{l}\mathrm{s}}_{\text{K}}(X)$; toto rozšíření $\overline{𝔖}$ je také surjektivní, což znamená, že všechny Čechovy uzávěrové operátory na $X$ indukují také topologii na $X$.Šablona:Sfn To však znamená, že $\overline{𝔖}$ už není bijekcí.

Příklady

• Jak je diskutováno výše, je-li dán topologický prostor $X$, můžeme definovat uzávěr jakékoli podmnožiny $A\subseteq X$ jako množinu $𝐜(A)=\bigcap \{C\text{ uzavřená podmnožina }X|A\subseteq C\}$, tj. průnik všech uzavřených množin $X$ které obsahují $A$. Množina $𝐜(A)$ je nejmenší uzavřenou množinou $X$ obsahující $A$, a operátor $𝐜:\mathrm{\wp }(X)\to \mathrm{\wp }(X)$ je Kuratowského operátor uzávěru.
• Pokud $X$ je jakákoli množina, operátory ${𝐜}_{\mathrm{\top }},{𝐜}_{\mathrm{\perp }}:\mathrm{\wp }(X)\to \mathrm{\wp }(X)$ takové, že $${𝐜}_{\mathrm{\top }}(A)=\{\begin{array}{cc}\varnothing & A=\varnothing ,\\ X& A\ne \varnothing ,\end{array}{𝐜}_{\mathrm{\perp }}(A)=A\mathrm{\forall }A\in \mathrm{\wp }(X),$$jsou Kuratowského uzávěry. První zavádí indiskrétní topologii $\{\varnothing ,X\}$, zatímco druhý zavádí diskrétní topologii $\mathrm{\wp }(X)$.

• Vezmeme libovolné $S⊊X$, a nechť ${𝐜}_S:\mathrm{\wp }(X)\to \mathrm{\wp }(X)$ je takové, že ${𝐜}_S(A):=A\cup S$ pro všechny $A\in \mathrm{\wp }(X)$. Pak ${𝐜}_S$ definuje Kuratowského uzávěr; odpovídající rodina uzavřených množin $𝔖[{𝐜}_S]$ se shoduje s $S^{\uparrow }$, rodinou všech podmnožin, které obsahují $S$. Když $S=\varnothing$, znovu získáme diskrétní topologii $\mathrm{\wp }(X)$ (tj. ${𝐜}_{\varnothing }={𝐜}_{\mathrm{\perp }}$, jak je vidět z definice).
• Pokud $\lambda$ je nekonečné kardinální číslo takové, že $\lambda \le \mathrm{crd}(X)$, pak operátor ${𝐜}_{\lambda }:\mathrm{\wp }(X)\to \mathrm{\wp }(X)$ takový, že$${𝐜}_{\lambda }(A)=\{\begin{array}{cc}A& \mathrm{crd}(A)<\lambda ,\\ X& \mathrm{crd}(A)\ge \lambda \end{array}$$vyhovuje všem čtyřem Kuratowského axiomům. Pokud $\lambda ={\mathrm{\aleph }}_0$, tento operátor zavádí kofinitní topologii na $X$; pokud $\lambda ={\mathrm{\aleph }}_1$, pak zavádí ko-spočetnou topologii.

Vlastnosti

• Protože jakýkoli Kuratowského uzávěr je izotonní, a izotonní je zjevně i jakékoli vnoření, máme (izotonickou) Galoisova korespondenci $⟨𝐜:\mathrm{\wp }(X)\to \mathrm{i}\mathrm{m}(𝐜);\iota :\mathrm{i}\mathrm{m}(𝐜)\hookrightarrow \mathrm{\wp }(X)⟩$, za předpokladu, že chápeme $\mathrm{\wp }(X)$jako množinu uspořádanou inkluzí, a $\mathrm{i}\mathrm{m}(𝐜)$ jako uspořádaná podmnožina $\mathrm{\wp }(X)$. Skutečně lze snadno ověřit, že pro všechny $A\in \mathrm{\wp }(X)$ a $C\in \mathrm{i}\mathrm{m}(𝐜)$, $𝐜(A)\subseteq C$ právě tehdy, když $A\subseteq \iota (C)$.
• Pokud $\{A_i{\}}_{i\in ℐ}$ je podrodina $\mathrm{\wp }(X)$, pak $$\bigcup _{i\in ℐ}𝐜(A_i)\subseteq 𝐜\left(\bigcup _{i\in ℐ}{A}_i\right),𝐜\left(\bigcap _{i\in ℐ}{A}_i\right)\subseteq \bigcap _{i\in ℐ}𝐜(A_i).$$
• Pokud $A,B\in \mathrm{\wp }(X)$, pak $𝐜(A)\setminus 𝐜(B)\subseteq 𝐜(A\setminus B)$.

Topologické koncepty používající uzávěr

Zjemnění a podprostory

Dvojice Kuratowského uzávěrů ${𝐜}_1,{𝐜}_2:\mathrm{\wp }(X)\to \mathrm{\wp }(X)$ takových, že ${𝐜}_2(A)\subseteq {𝐜}_1(A)$ pro všechny $A\in \mathrm{\wp }(X)$ indukuje topologii ${\tau }_1,{\tau }_2$ takovou, že ${\tau }_1\subseteq {\tau }_2$, a naopak. Jinými slovy ${𝐜}_1$ dominuje ${𝐜}_2$ právě tehdy, když topologie indukovaná druhým je zjemněním topologie indukované první nebo ekvivalentně $𝔖[{𝐜}_1]\subseteq 𝔖[{𝐜}_2]$.Šablona:Sfn Například ${𝐜}_{\mathrm{\top }}$ jasně dominuje ${𝐜}_{\mathrm{\perp }}$( druhý pouze je identity na $\mathrm{\wp }(X)$). Protože ke stejnému závěr lze dojít substitucí ${\tau }_i$ s rodinou ${\kappa }_i$ obsahující komplementy všech členů, pokud je na ${\mathrm{C}\mathrm{l}\mathrm{s}}_{\text{K}}(X)$ definováno částečné uspořádání $𝐜\le {𝐜}^{\prime }⟺𝐜(A)\subseteq {𝐜}^{\prime }(A)$ pro všechny $A\in \mathrm{\wp }(X)$ a $\mathrm{A}\mathrm{t}\mathrm{p}(X)$ je vybavená zjemněním pořadí, pak můžeme dojít k závěru, že $𝔖$ je antitonní zobrazení mezi uspořádanými množinami.

V jakékoli indukované topologii (vzhledem k podmnožině A) uzavřené množiny indukují nový uzávěrový operátor, kterým je původní uzávěrový operátor omezený na A: ${𝐜}_A(B)=A\cap {𝐜}_X(B)$, pro všechny $B\subseteq A$.Šablona:Sfn

Spojitá zobrazení, uzavřená zobrazení a homeomorfismy

Funkce $f:(X,𝐜)\to (Y,{𝐜}^{\prime })$ je spojitá v bodě $p$ právě tehdy, když $p\in 𝐜(A)\Rightarrow f(p)\in {𝐜}^{\prime }(f(A))$, a všude spojitá právě tehdy, když $$f(𝐜(A))\subseteq {𝐜}^{\prime }(f(A))$$ pro všechny podmnožiny $A\in \mathrm{\wp }(X)$.Šablona:Sfn Zobrazení $f$ je uzavřené zobrazení právě tehdy, když platí opačná inkluze,Šablona:Sfn a je homeomorfismem právě tehdy, když je jak spojité tak uzavřené, tj. právě tehdy, když platí rovnost.Šablona:Sfn

Oddělovací axiomy

Nechť $(X,𝐜)$ je Kuratowského prostor uzávěrů. Pak

• $X$ je T₀-prostor právě tehdy, když z $x\ne y$ plyne $𝐜(\{x\})\ne 𝐜(\{y\})$;Šablona:Sfn
• $X$ je T₁-prostor právě tehdy, když $𝐜(\{x\})=\{x\}$ pro všechny $x\in X$;Šablona:Sfn
• $X$ je T₂-prostor právě tehdy, když z $x\ne y$ vyplývá, že existuje množina $A\in \mathrm{\wp }(X)$ taková, že $x\notin 𝐜(A)$ a zároveň $y\notin 𝐜(𝐧(A))$, kde $𝐧$ je operátor množinového doplňku.

Blízkost a oddělenost

Bod $p$ je blízký k podmnožině $A$, pokud $p\in 𝐜(A).$ To lze použít pro definici relace proximity pro body a podmnožiny dané množiny.Šablona:Sfn

Dvě množiny $A,B\in \mathrm{\wp }(X)$ jsou oddělené právě tehdy, když $(A\cap 𝐜(B))\cup (B\cap 𝐜(A))=\varnothing$. Prostor $X$ je souvislý právě tehdy, když jej nelze zapsat jako sjednocení dvou oddělených podmnožin.Šablona:Sfn

Odkazy

Reference

• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace monografie

Související články

• Topologický prostor

Externí odkazy

• Alternativní charakterizace topologických prostorů