Galoisova korespondence

Galoisova korespondence je pojem z obecné algebry a teorie množin a obvykle označuje zobrazení mezi dvěma částečně uspořádanými množinami splňující určité požadavky. Pojem Galoisova korespondence zobecňuje korespondenci mezi podgrupami a podtělesy v Galoisově teorii (pojmenované po francouzském matematikovi Évaristu Galoisovi).

Definice

Ať X a Y jsou množiny. Ať $𝒜:𝒫(X)⟶𝒫(Y)$ a $ℬ:𝒫(Y)⟶𝒫(X)$. Pak $(𝒜,ℬ)$ nazveme Galoisovou koresponencí, platí-li:

• $A_1\subseteq A_2\in 𝒫(X)\Rightarrow 𝒜(A_1)\supseteq 𝒜(A_2),$
• $B_1\subseteq B_2\in 𝒫(Y)\Rightarrow ℬ(B_1)\supseteq ℬ(B_2),$
• $ℬ𝒜(A)\supseteq A$ pro $\mathrm{\forall }A\in X,$
• $𝒜ℬ(B)\supseteq B$ pro $\mathrm{\forall }B\in Y.$

Někdy se definuje Galoisova korespondence alternativně následujícím způsobem:

Buď $\varphi \subseteq X\times Y$. Definujeme zobrazení $𝒫(X)⟶𝒫(Y)$ takto:

• $A⟼A^{\to }=\{b\in Y|(a,b)\in \varphi ,\mathrm{\forall }a\in A\}$
• $B⟼B^{\leftarrow }=\{a\in Y|(a,b)\in \varphi ,\mathrm{\forall }b\in B\}$.

Podotýkáme, že v anglické literatuře je pojem Galoisova korespondenceŠablona:Upřesnit vymezen pro pár vzájemně bijektivních zobrazení, zatímco Galoisově korespondenci v širším smyslu odpovídá pojem Galois connection.

Vlastnosti

Je-li $(𝒜,ℬ)$ Galoisova korespondence množin X a Y, pak platí:

• $𝒜ℬ𝒜(A)=𝒜(A)$ pro $\mathrm{\forall }A\in X,$ a symetricky $ℬ𝒜ℬ(B)=ℬ(B)$ pro $\mathrm{\forall }B\in Y.$
• Složená zobrazení $ℬ𝒜$ a $𝒜ℬ$ jsou uzávěrovými operátory na X a Y.
• Galoisova korespondence poskytuje vzájemně inverzní bijekce $𝒜$ a $ℬ$ množin $𝒳=\{𝒜(A)|A\in X\}$ a $𝒴=\{ℬ(B)|B\in Y\}$.

Příklady

Algebraická geometrie

Korespondence $(𝕀,𝕍)$ mezi algebraickými množinami, tj. podmnožinami ${𝔸}^n=K\times K\times ...\times K,$ kde $K$ je těleso, a ideály okruhu polynomů $K[x_1,x_2,...,x_n]$, taková, že

$𝕀(X)=\{p\in K[x_1,x_2,...,x_n]|p(a)=0,\mathrm{\forall }a\in X\},$

$𝕍(S)=\{a\in {𝔸}^n|p(a)=0,\mathrm{\forall }p\in S\},$.

S touto Galoisovou korespondencí je těsně spjatá Hilbertova věta o nulách.

Univerzální algebra

V univerzální algebře se vyskytuje několik důležitých Galoisovych korespondencí:

Nechť $Alg$ je množina všech $\mathrm{\Sigma }$-algeber, $Eq$ je množina všech $\mathrm{\Sigma }$-identit, $\varphi \subseteq Alg\times Eq$ je relace taková, že $(\underset{\_}{A},s\approx t)\leftrightarrow \underset{\_}{A}\models s\approx t$. Pak dvojice zobrazení $𝒦\mapsto Id(𝒦)$ a $ℰ\mapsto Mod(ℰ)$, kde $𝒦\in Alg$ a $ℰ\in Eq$, je Galoisovou korespondencí indukovanou relací $\varphi$.

Máme-li nějakou množinu $A$, označíme $Op(A)$ množinu všech operací na $A$, $Rel(A)$ množinu všech relací na $A$ a nechť je $\varphi \subseteq Op\times Rel$ kompatibilita, tj. $(f,R)\iff$ $f$ je kompatibilní s $R$. Pak Galoisova korespondence indukovaná touto relací poskytuje dvojice zobrazení. Obraz množiny $F\in Op(A)$ nazýváme invariantem F a značíme $Inv(F)$, obraz $\mathrm{\Theta }\in Rel(A)$ nazýváme polymorfismy $\mathrm{\Theta }$ a značíme $Pol(\mathrm{\Theta })$.

Literatura

• Bergman C.: Universal algebra. Fundamentals and Selected Topics, CRC press, 2012.
• Fulton W.: Algebraic Curves, Addison-Wesley, 1989.