Kruh

Kruh

Šablona:Různé významy Kruh je rovinný geometrický útvar, omezený kružnicí. Kruh je určen svým středem S a poloměrem r: Je to množina všech bodů roviny, které mají od středu vzdálenost menší nebo rovnou poloměru.

Základní vzorce

Grafické vyjádření vzorce pro obsah kruhu. Pokud se kruh rozdělí na velké množství tenkých výsečí a střídavě se složí tyto výseče k sobě, lze si představit, že vznikne obdélník. Jedna strana obdélníku je poloměr $r$, druhá strana je polovina obvodu kruhu $\pi r$, tím pádem obsah obdélníku vychází $S=\pi r^2$.

Pro poloměr

Obvod o kruhu je určen vzorcem:

$o=2\pi r,$

kde π označuje číslo pí, a jeho plocha S vzorcem:

$S=\pi r^2.$

Pro průměr

Pokud bychom uvažovali poloměr (rádius) r jako polovinu průměru d, tedy dosadili: $r=\frac{d}{2}$, tak by vzorce vypadaly následovně:

pro obvod o:

$o=2\frac{\pi d}{2}=\pi d$

a takto pro plochu S:

$S=\pi {\left(\frac{d}{2}\right)}^2=\pi \frac{d^2}{2^2}=\pi \frac{d^2}{4}$

Odvození vzorce pro plochu pomocí integrace

Obecný středový tvar rovnice kružnice se středem v počátku soustavy souřadné:

$x^2+y^2=r^2$

Rovnice části kružnice v I. kvadrantu:

$y=\sqrt{r^2-x^2}$

Plocha kruhu se rovná čtyřnásobku plochy vymezené osami $x$ a $y$ a částí kružnice v I. kvadrantu. Pomocí integrálního počtu tedy:

$S=4\underset{0}{\overset{r}{\int }}\sqrt{r^2-x^2}\mathrm{d}x$

Použijeme substituci, $x=r\sin (\varphi )$, a tedy $\mathrm{d}x=r\cos (\varphi )\mathrm{d}\varphi$:

$S=4\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\sqrt{r^2-r^2{\sin }^2(\varphi )}r\cos (\varphi )\mathrm{d}\varphi$

Upravíme:

$S=4\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}{r}^2{\cos }^2(\varphi )\mathrm{d}\varphi =4r^2\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}{\cos }^2(\varphi )\mathrm{d}\varphi$

Integrujeme:

$S=4r^2{[\frac{\varphi }{2}+\frac{\sin (2\varphi )}{4}]}_0^{\pi /2}$

A po dosazení:

$S=4r^2(\frac{\pi }{4}+\frac{\sin (\pi )}{4})=\pi r^2$

Další pojmy

Část kruhu vymezená dvěma průvodiči je kruhová výseč, část kruhu omezená sečnou je kruhová úseč. Plocha vymezená dvěma soustřednými kružnicemi o nestejném poloměru je mezikruží.

Kvadratura kruhu

Šablona:Podrobně Kvadratura kruhu je konstrukční úloha: sestrojit k danému kruhu čtverec o stejném obsahu pouze pomocí pravítka a kružítka. Tato úloha obecně nemá řešení, přibližná řešení byla ovšem známa už ve starověku.

Naproti tomu Tarského problém kvadratury kruhu je úloha rozdělit daný kruh na konečně mnoho kousků a složit z těchto kousků čtverec o stejném obsahu. S použitím axiomu výběru je tato úloha řešitelná, ovšem nikoliv prakticky. Kousky jsou neměřitelné množiny, které nelze realizovat hmotou složenou z částic. Navíc řešení, které nalezl Laczkovich, vyžaduje $10^{50}$ kousků.

Třírozměrné tvary, jejichž průsečíky s některými rovinami dávají kruhy, jsou koule, sféroidy, válce a kužely.

Odkazy

Související články

• Kružnice
• Mezikruží
• Kvadratura kruhu
• Malfattiho kruhy

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat
• Šablona:Wikicitáty
• Šablona:Wikislovník
• Šablona:En Vzorce pro kruh a kružnici na Geometry Atlas.
• Interaktivní applety Java Vlastnosti a jednoduché konstrukce kruhu a kružnice.