Kruhová úseč

Kruhová úseč a výseč

Kruhová úseč. Značení:
M – střed kružnice,
r – poloměr kružnice,
AB – tětiva,
s – délka tětivy,
h – výška úseče,
α – středový úhel,
b – délka oblouku,
A – obsah úseče

Kruhová úseč je část kruhu vymezená tětivou a kruhovým obloukem vzniklá rozdělením kruhu sečnou.

Každá úseč je příslušná středovému úhlu α, který může být konvexní (0° < α < 180°), konkávní (180° < α < 360°), nebo přímý (α = 180°; polokruh).

Obvod úseče, poloměr, tětiva a výška

Použité značení:

• r – poloměr kruhu
• α – středový úhel, $\alpha =2\arcsin \left(\frac{s}{2r}\right)$; $\alpha =4\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\left(\frac{h}{(s/2)}\right)$; $\alpha =2\arcsin \left(\frac{4hs}{s^2+4h^2}\right)$; $\alpha =2\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\left(\frac{(s/2)}{(\frac{s^2}{8h}-\frac{h}{2})}\right)$; $\alpha =2\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\left(\frac{4sh}{s^2-4h^2}\right)$
• s – délka tětivy, $s=2r\sin \left(\frac{\alpha }{2}\right)$; $s=2r\sqrt{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos (\alpha )}$
• h – výška oblouku, $h=r(1-\cos (\frac{\alpha }{2}\left)\right)$; $h=r-\frac{1}{2}\sqrt{4r^2-s^2}$ ; $r^2=(s/2{)}^2+(r-h{)}^2$
• $r=\frac{s^2}{8h}+h/2$; $r=\frac{(s/2{)}^2+h^2}{2h}$; $r=\frac{(s/2)}{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(2\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\right(\frac{h}{(s/2)}\left)\right)}$; $r=\frac{s}{2\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(2\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\right(\frac{s}{2h}\left)\right)}$
• $s=2h\surd (\frac{2r}{h}-1)$; $s=2\surd (2rh-h^2)$; $s=2\tan \left(\frac{\alpha }{2}\right)\cdot (\frac{b}{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\alpha }-h)$
• $h=r-r\surd (1-(s/2r{)}^2)$

• b – délka oblouku: $b=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\alpha \cdot r$ (arc = úhel v radiánech); $b=\arcsin \left(\frac{s}{h+\frac{s^2}{4h}}\right)\cdot (h+\frac{s^2}{4h})$; $b=2r\arcsin \left(\frac{s}{2r}\right)\cdot \frac{\pi }{180}$ (pro nastavení kalkulačky na stupně); $b=4(\frac{s^2}{8h}+h/2)\cdot \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\left(\frac{h}{(s/2)}\right)\cdot \frac{\pi }{180}$ (pro nastavení kalkulačky na stupně)

Obvod kruhové úseče:

• $o=b+s$
• $o=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\alpha \cdot r+s$ (arc = úhel v radiánech)
• $o=2r\arcsin \left(\frac{s}{2r}\right)+s$
• $o=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\alpha \cdot r+2r\sin \left(\frac{\alpha }{2}\right)$ (arc = úhel v radiánech)
• $o=2r\arcsin \left(\frac{s}{2r}\right)\cdot \frac{\pi }{180}+2r\sin \left(\frac{\alpha }{2}\right)$ (pro nastavení kalkulačky na stupně)

V případě, že je úhel α konvexní (0 < α < π), je obsah úseče roven obsahu výseče ($S_V=\frac{arc\alpha \cdot r^2}{2}$) bez obsahu rovnoramenného trojúhelníka ($S_T=r^2\sin \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\alpha }{2}=\frac{r^2}{2}\sin \alpha$; kladné číslo).

$S=S_V-S_T=\frac{r^2}{2}(arc\alpha -\sin \alpha )$

V případě, že je úhel $\alpha$ konkávní (π < α < 2π), je obsah úseče roven obsahu výseče a obsahu rovnoramenného trojúhelníka. Pro konkávní středový úhel ovšem vyjde obsah trojúhelníka ($S_T=\frac{r^2}{2}\sin \alpha$) záporný, takže pro celkový obsah úseče opět platí předchozí vzorec:

$S=\frac{r^2}{2}(\alpha -\sin \alpha )$

Známe-li výšku úseče $h$ a poloměr:

$S=r^2\arccos \left(\frac{r-h}{r}\right)-(r-h)\sqrt{2hr-h^2}$

V praxi je úseč často určena šířkou $s$ (délka tětivy) a výškou $h$. Pro obsah pak platí

$S=\frac{1}{64h^2}({(s^2+4h^2)}^2\arccos \frac{s^2-4h^2}{s^2+4h^2}-4sh(s^2-4h^2))$

Literatura

• Martina Palková a kolektiv: Průvodce matematikou 2, Didaktis, Brno 2007, Šablona:ISBN, str. 30

Související články

• Kruhová výseč
• Kruhový oblouk
• Tětiva (geometrie)
• Kulová úseč

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat
• Šablona:En Kalkulátor všech parametrů úseče (z libovolných dvou hodnot)