Kochaňského konstrukce

Model původního obrázku Kochańského z Acta Eruditorum ilustrující jeho přibližnou rektifikaci kružnice

Kochańského konstrukce je přibližná metoda rektifikace kružnice neboli konstrukce úsečky o délce rovné polovině obvodu daného kruhu navržená v roce 1685 polským matematikem Adamem Adamandym Kochańským. Umožňuje sestrojení úsečky, která je přibližně $\pi$-krát delší než daná úsečka. Jejím využitím lze také provést přibližnou kvadraturu kruhu.

Popis konstrukce

Je dána kružnice se středem v bodě $P_1$ a poloměrem $r.$

• Sestrojíme průměr kružnice $\overline{P_2{P}_3}.$
• Sestrojíme tečnu ke kružnici v bodě $P_2.$
• Sestrojíme kružnici (nebo kruhový oblouk) se středem v bodě $P_2$ a poloměrem $r.$ Jeden z průsečíků s původní kružnicí označíme $P_4.$
• Sestrojíme kružnici (kruhový oblouk) se středem v bodě $P_4$ a poloměrem $r.$ Jeden z průsečíků kruhových oblouků je $P_1$, druhý označíme $P_5.$ Body $P_1$ a $P_5$ tvoří osu úsečky $\overline{P_2{P}_4}.$
• Průsečík $\overline{P_1{P}_5}$ s tečnou ke kružnici vedenou bodem $P_2$ označíme $P_6.$
• Na polopřímku $\overline{P_6{P}_2}$ naneseme od bodu $P_6$ 3krát vzdálenost $r$, čímž získáme postupně body $P_7,$ $P_8,$ $P_9.$
• Úsečka $\overline{P_3{P}_9}$ má délku přibližně rovnou $\pi r$

$|P_3{P}_9|=|P_1{P}_2|\sqrt{\frac{40}{3}-2\sqrt{3}}\approx 3,1415333387\cdot |P_1{P}_2|\approx \pi r.$

Stojí za zmínku, že úsečka $\overline{P_1{P}_5}$ je výškou rovnostranného trojúhelníka $P_1{P}_4{P}_2,$ což znamená, že svírá úhel 30° s úsečkou $\overline{P_2{P}_3}$.

Odhad relativní chyby

$|\pi -\sqrt{\frac{40}{3}-2\sqrt{3}}|\approx 0,0000593148847.$

Proto se chyba objeví až na pátém místě za desetinnou čárkou. Takové přiblížení v praktických případech obvykle postačuje.

Kvadratura kruhu založená na Kochańského konstrukci

Na základě Kochańského konstrukce je možná také přibližná kvadratura kruhu. Ilustruje ji následující obrázek.

Odkazy

Související články

• Rektifikace kružnice
• Kvadratura kruhu
• Kvadratura (matematika)