Jacobiho metoda

V lineární algebře je Jacobiho metoda (též Jacobiova metoda) iteračním algoritmem pro numerické řešení soustavy lineárních rovnic. Je založena na rozkladu matice soustavy na součet dvou komponent, z nichž jedna je diagonální a je díky tomu snadné určit její inverzní matici. V nematicové formulaci postup odpovídá tomu, že v každé iteraci se použitím přibližných hodnot řešení z každé rovnice vypočítá diagonální prvek, který představuje novou iteraci a přesnější odhad řešení. Metoda je pojmenována po Carlu Gustavu Jacobim.

Princip metody

Nechť

$A𝐱=𝐛$

je soustava n lineárních rovnic o n neznámných, kde:

$A=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right],𝐱=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right],𝐛=\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ ⋮\\ b_n\end{array}\right].$

Potom lze A rozložit na diagonální složku D a složku N s nulami v hlavní diagonále.

$A=D+N\text{kde}D=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& 0& \cdots & 0\\ 0& a_{22}& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & a_{nn}\end{array}\right]\text{ a }N=\left[\begin{array}{cccc}0& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& 0& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & 0\end{array}\right]$

Rovnici je potom možno přepsat do tvaru

$D𝐱=𝐛-N𝐱,$

tj.

$𝐱=D^{-1}(𝐛-N𝐱).$

Řešení této úlohy je potom možno v některých případech (viz níže podmínka konvergence) získat iterací vztahu

${𝐱}^{(k+1)}=D^{-1}(𝐛-N{𝐱}^{(k)}),$

kde ${𝐱}^{(k)}$ je k-tá iterace $𝐱$ a ${𝐱}^{(k+1)}$ je další iterace $𝐱$. Po rozepsání na jednotlivé prvky mají iterace tvar

$x_i^{(k+1)}=\frac{1}{a_{ii}}(b_i-\sum _{j\ne i}{a}_{ij}{x}_j^{(k)}),i=1,2,\dots ,n.$

Konvergence metody

Postačující podmínkou pro konvergenci metody je, že matice A je řádkově ostře diagonálně dominantní. To znamená, že pro každý řádek je absolutní hodnota diagonálního členu větší než součet absolutních hodnot ostatních členů:

$\left|a_{ii}\right|>\sum _{j\ne i}\left|a_{ij}\right|.$

Tato podmínka není nutná. Jacobiho metoda může konvergovat i pro matice, které tuto podmínku nesplňují.

Příklad v nematicové formulaci

Řešení soustavy

$\begin{array}{cc}10x_1-x_2+2x_3& =6,\\ -x_1+11x_2-x_3+3x_4& =25,\\ 2x_1-x_2+10x_3-x_4& =-11,\\ 3x_2-x_3+8x_4& =15.\end{array}$

spočívá v nalezení hodnoty $x_1$ z první rovnice, přičemž ostatní neznámé nabývají hodnoty zvolené počáteční iterací. Z druhé rovnice se podobně určí hodnota $x_2$ atd.

Pro počáteční iteraci Šablona:Math je další iterace

$\begin{array}{cc}{x}_1& =(6+0-(2\times 0))/10=0.6,\\ x_2& =(25+0+0-(3\times 0))/11=25/11=2.2727,\\ x_3& =(-11-(2\times 0)+0+0)/10=-1.1,\\ x_4& =(15-(3\times 0)+0)/8=1.875.\end{array}$

Toto je další odhad řešení. Postup se opakuje a v tabulce jsou shrnuta přibližná řešení po pěti iteracích.

$x_1$	$x_2$	$x_3$	$x_4$
0,6	2,27272	-1.1	1,875
1,04727	1,7159	-0,80522	0,88522
0,93263	2,05330	-1,0493	1,13088
1,01519	1,95369	-0,9681	0,97384
0,98899	2,0114	-1,0102	1,02135

Přesné řešení soustavy je Šablona:Math .